Em um recipiente fechado, vapor saturado de água a 300^{\circ} \mathrm{C} tem sua pressão diminuída enquanto seu volume duplica. Esse processo ocorre isotermicamente. Para esse processo:
(valor: 2,0)
a) Qual é a pressão inicial no recipiente?
b) Qual é a pressão final no recipiente?
c) Represente o processo em um diagrama de temperatura versus volume específico, indicando no gráfico, além do processo, a curva de saturação da água e as curvas de mesma pressão (isobáricas) sobre as quais os pontos estão situados. Indique no gráfico os valores de pressão, de temperatura e de volume específico nos dois estados.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (pegados do enunciado):
    • Há vapor saturado de água inicialmente à temperatura \,300^{\circ}\mathrm{C}.
    • O processo é isotérmico (temperatura constante).
    • Durante o processo a pressão diminui e o volume total (específico) do vapor duplica: \,v_2 = 2\,v_1.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) A pressão inicial no recipiente.
    • (b) A pressão final no recipiente.
    • (c) Representar o processo em um diagrama T versus volume específico v, indicando no gráfico:
      • a curva de saturação da água (o “domo”),
      • as curvas de mesma pressão (isobáricas) sobre as quais os pontos estão situados,
      • e marcar os valores de pressão, temperatura e volume específico nos dois estados.
Observação: o enunciado diz explicitamente “vapor saturado” em 300^{\circ}\mathrm{C}, portanto o estado inicial é o vapor saturado (qualidade x=1) àquela temperatura — isso fixa a pressão de saturação e o volume específico saturado do vapor.

Passo 2

Encontrar a pressão de saturação correspondente a \,300^{\circ}\mathrm{C}.
  • Definição rápida: para uma substância pura, a pressão de saturação \,P_{\mathrm{sat}}(T) é a pressão de vapor em equilíbrio líquido–vapor à temperatura T. Se dizemos “vapor saturado a 300^{\circ}\mathrm{C}”, isso significa que a pressão do sistema é exatamente \,P_{\mathrm{sat}}(300^{\circ}\mathrm{C}).
  • Para obter \,P_{\mathrm{sat}}(300^{\circ}\mathrm{C}) usa-se a tabela de vapor saturado (tabela de propriedades da água). Eu consultei a tabela de vapor saturado padrão e encontrei:
    P_1 = P_{\mathrm{sat}}(300^{\circ}\mathrm{C}) = 8{,}586\\ \mathrm{MPa} = 8{,}586\\ \mathrm{kPa}\times 10^{3}.
    (é comum expressar em \,\mathrm{MPa} ou em \,\mathrm{kPa}; aqui uso \,\mathrm{MPa} e também darei em \,\mathrm{kPa} quando útil).
  • Comentário prático para a prova: se o enunciado dá “vapor saturado a T”, sempre buscar em tabela o \,P_{\mathrm{sat}}(T). Não tente deduzir essa pressão por conta própria sem tabela ou gráfico — é dado pelas propriedades de equilíbrio.

Passo 3

Obter o volume específico inicial (saturado-vapor) e o final.
  • Definição: o volume específico do vapor saturado é v_g(T), o volume por unidade de massa do vapor na condição saturada à temperatura T.
  • Peguei da tabela de vapor saturado a seguinte propriedade (valor tabelado):
    v_1 = v_g(300^{\circ}\mathrm{C}) = 0{,}02167\\ \mathrm{m^3/kg}.
    (este valor vem da tabela de vapor saturado — sempre mencionar que foi retirado da tabela).
  • Como o enunciado diz que o volume duplica:
    v_2 = 2\,v_1 = 2\times 0{,}02167 = 0{,}04334\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Comentário didático: notar que o estado inicial está exatamente sobre a curva de saturação (ponto de vapor saturado). Depois da expansão isotérmica para a direita (maior v) o fluido ficará na região de vapor superaquecido (porque, à mesma temperatura, o ponto com v>v_g não está na linha de saturação).

Passo 4

Raciocínio físico e escolha do método para encontrar a pressão final.
  • O processo é isotérmico ( T constante). Para um gás ideal, a equação de estado é
    P v = R T,
    onde:
    • P é a pressão (por unidade de área),
    • v é o volume específico (m^3/kg),
    • R é a constante do gás específico (para vapor d’água R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 0{,}4615\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}),
    • T é a temperatura absoluta (K).
  • Para um processo isotérmico de um gás ideal, P v = \text{constante}. Portanto
    P_1 v_1 = P_2 v_2 \quad\Rightarrow\quad P_2 = P_1\frac{v_1}{v_2}.
  • Justificativa do uso do comportamento de gás ideal aqui (explicação para a prova):
    • O vapor saturado inicial está na fronteira líquido–vapor; ao expandir isotermicamente para v_2>v_g o vapor passa a ser superaquecido. Em região de vapor superaquecido é comum, em exercícios básicos, aproximar o vapor por gás ideal para relacionar P e v a temperatura fixa, especialmente quando não se fornece tabela de vapor superaquecido.
    • Se quiser maior precisão, deveria-se consultar a tabela de vapor superaquecido à T=300^{\circ}\mathrm{C} e achar a pressão correspondente a v_2 (ou usar uma equação de estado real como IAPWS). Mas em muitos cursos e provas a aproximação do gás ideal é aceita para este tipo de exercício didático. Vou usá-la e indicarei que é aproximação.

Passo 5

Aplicar a relação isotérmica (gás ideal) para calcular a pressão final.
  • Como v_2 = 2 v_1, pela relação P_1 v_1 = P_2 v_2 segue diretamente:
    P_2 = P_1\frac{v_1}{v_2} = P_1\frac{v_1}{2v_1} = \frac{P_1}{2}.
  • Numericamente:
    P_1 = 8{,}586\\ \mathrm{MPa}, \qquad P_2 = \frac{8{,}586}{2} = 4{,}293\\ \mathrm{MPa}.
    Em unidades mais familiares:
    P_1 = 8{,}586\\ \mathrm{MPa} = 8{,}586\times 10^{3}\\ \mathrm{kPa}, \qquad P_2 = 4{,}293\\ \mathrm{MPa} = 4{,}293\times 10^{3}\\ \mathrm{kPa}.
  • Comentário: essa resposta usa a aproximação de comportamento de gás ideal durante a expansão isotérmica na região de vapor superaquecido. Uma resposta mais refinada exigiria consulta à tabela de vapor superaquecido: procurar a pressão que, à T=300^{\circ}\mathrm{C}, corresponde a v_2=0{,}04334\\ \mathrm{m^3/kg}.

Passo 6

Resumo dos valores numéricos importantes (úteis para desenhar o diagrama T vs v).
  • Temperatura (constante): T = 300^{\circ}\mathrm{C} = 573{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Estado 1 (inicial, vapor saturado): P_1 = 8{,}586\\ \mathrm{MPa},\qquad v_1 = 0{,}02167\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Estado 2 (final, vapor superaquecido após expansão isotérmica): P_2 = 4{,}293\\ \mathrm{MPa},\qquad v_2 = 0{,}04334\\ \mathrm{m^3/kg}.

Passo 7

Como representar o processo no diagrama T versus volume específico v (instruções passo a passo para desenhar o gráfico na prova).
  • Eixos:
    • eixo vertical: temperatura T (em ^\circ\mathrm{C} ou K),
    • eixo horizontal: volume específico v (em \mathrm{m^3/kg}).
      Desenhe o domínio típico da água: um “domo” de saturação (curva de duas partes: à esquerda a linha de líquido saturado v_f(T), à direita a linha de vapor saturado v_g(T)). O vértice do domo é o ponto crítico ( T_{\mathrm{c}}=374{,}14^{\circ}\mathrm{C}).
  • Traçar a curva de saturação:
    • desenhe o domo e marque nele o ponto correspondente a T=300^{\circ}\mathrm{C}. Na borda direita do domo, no mesmo T, marque o ponto de vapor saturado com coordenada v_1=0{,}02167\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Marcações do processo:
    • sobre a linha horizontal T=300^{\circ}\mathrm{C} (isoterma), marque o ponto 1 sobre a borda direita do domo em v_1 (este é vapor saturado).
    • sobre a mesma isoterma, à direita do domo, marque o ponto 2 em v_2=0{,}04334\\ \mathrm{m^3/kg} (região de vapor superaquecido).
    • una 1 a 2 por uma linha horizontal (isto representa o processo isotérmico no diagrama T v).
  • Curvas de mesma pressão (isobáricas):
    • desenhe a isobárica correspondente a P_1=8{,}586\\ \mathrm{MPa}: ela passa pelo ponto 1 na borda do domo e, fora do domo, segue para a região de superaquecimento (em um T v diagrama a isobárica cruza o domo e tem formato característico). Indique o valor P_1=8{,}586\\ \mathrm{MPa} junto à curva.
    • desenhe outra isobárica para P_2=4{,}293\\ \mathrm{MPa}; esta isobárica estará abaixo (em pressão menor) e atravessará a isoterma em um ponto à direita de v_1. Indique P_2=4{,}293\\ \mathrm{MPa}.
    • Observação prática: em um esboço simples da prova basta traçar duas curvas aproximadas de isobáricas e marcar que o ponto 1 está sobre a isobárica P_1 (na borda do domo) e o ponto 2 sobre a isobárica P_2 (na região de superaquecimento).
  • Rotular no gráfico:
    • marque explicitamente T=300^{\circ}\mathrm{C} (linha horizontal/isoterma),
    • marque o ponto 1 com (T_1=300^{\circ}\mathrm{C},\,v_1=0{,}02167\\ \mathrm{m^3/kg},\,P_1=8{,}586\\ \mathrm{MPa}),
    • marque o ponto 2 com (T_2=300^{\circ}\mathrm{C},\,v_2=0{,}04334\\ \mathrm{m^3/kg},\,P_2=4{,}293\\ \mathrm{MPa}),
    • desenhe a curva de saturação (o domo) e as isobáricas P_1 e P_2.

Passo 8

Observações finais e dica de prova (tom amigo e incentivador).
  • Dica rápida: se o enunciado disser “vapor saturado a T”, sempre buscar na tabela P_{\mathrm{sat}}(T) e v_g(T) para o estado inicial. Depois, se o processo deslocar para a região de vapor superaquecido e não houver tabela de superaquecimento disponível, a aproximação de gás ideal é muito usada para relacionar P e v em processo isotérmico.
  • Se o professor exigir precisão real, consultar a tabela de vapor superaquecido a T=300^{\circ}\mathrm{C} e achar a pressão correspondente a v_2; o valor obtido por essa via será um pouco diferente do valor ideal-gás aqui calculado, mas o raciocínio é o mesmo.
  • Você se saiu bem. Respira fundo e lembra: procurar na tabela e escrever os passos (tabela → leitura de P e v → relação isotérmica → cálculo) é meio caminho para ganhar pontos.

Resposta

(a) P_1 = P_{\mathrm{sat}}(300^{\circ}\mathrm{C}) = 8{,}586\\ \mathrm{MPa}.
(b) P_2 = \dfrac{P_1}{2} = 4{,}293\\ \mathrm{MPa}.
(c) T=300^{\circ}\mathrm{C} \\ (573{,}15\\ \mathrm{K});\\ v_1 = v_g(300^{\circ}\mathrm{C}) = 0{,}02167\\ \mathrm{m^3/kg};\\ v_2 = 0{,}04334\\ \mathrm{m^3/kg}. Desenhar no diagrama T vs v: curva de saturação (domo) com o ponto 1 na borda direita (T=300^{\circ}\mathrm{C},v_1), isoterma T=300^{\circ}\mathrm{C} horizontal unindo 1 a 2, ponto 2 em v_2 (região de superaquecimento), e isobáricas passando por cada ponto com P_1 e P_2 indicadas.

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