Gás propano, a 1 bar e 35^{\circ} \mathrm{C}, é comprimido até um estado final de 135 bar e 195^{\circ} \mathrm{C}. Estime o volume molar do propano no estado final e as variações de entalpia e de entropia para o processo. No seu estado inicial, o propano pode ser considerado um gás ideal.
Passo 1
O enunciado pede que eu estime: (a) o volume molar do propano no estado final e (b) as variações de entalpia e de entropia para o processo que leva o propano de um estado inicial para um estado final. Os dados fornecidos são:
Estado inicial: P_1 = 1\\ \mathrm{bar}, T_1 = 35^\circ\mathrm{C} = 308{,}15\\ \mathrm{K}. O enunciado diz que neste estado o propano pode ser considerado um gás ideal.
Constante dos gases: R = 8{,}3144626\\ \mathrm{J\;mol^{-1}K^{-1}}.
O que se pede, portanto:
Estimar o volume molar v_2 no estado final (P_2,T_2).
Estimar \Delta h = h_2 - h_1 e \Delta s = s_2 - s_1 do processo. Como P_1,T_1 é gás ideal, vou usar as contribuições de gás ideal mais as correções (funções de sobra / residual) no estado final.
Passo 2
Qual método vou usar e por quê?
O estado final está a alta pressão (135\\ \mathrm{bar}), então o comportamento real do propano é importante. Uma boa escolha prática é usar uma equação de estado cúbica que é comumente usada para hidrocarbonetos: a equação de Peng–Robinson (PR). Ela dá uma boa estimativa para Z (fator de compressibilidade) e permite calcular as funções de sobra (residual) de entalpia e entropia.
Essa opção equilibra precisão e esforço de cálculo (é adequada em provas). Vou aplicar a PR para obter Z, daí v_2, e usar as fórmulas de propriedades residuais para obter h^R e s^R. Como P_1 é baixo e o enunciado permite tratar o estado 1 como gás ideal, vou desprezar a parcela residual no estado inicial (ou seja, h^R_1\approx 0, s^R_1\approx 0).
Passo 3
Apresentação das fórmulas da Peng–Robinson e das funções residuais que vou usar.
Parâmetros da PR:
a = 0{,}45724\frac{R^2 T_c^2}{P_c}\,\alpha(T),\qquad b = 0{,}07780\frac{R T_c}{P_c}
Observação: os sinais pequenos (valores próximos de zero) indicam que a contribuição residual de entropia é modesta neste ponto; já a residual de entalpia é alguns kJ/mol em magnitude.
Passo 10
Cálculo das contribuições ideais (h^{\text{ig}} e a parte ideal de s) entre T_1 e T_2.
Vou aproximar C_p^{\text{ig}}(T) por uma função linear ajustada a dois valores tabulados aproximados:
valor tabulado aproximado para propano: C_{p,1}=C_p(T_1\!=\!308{,}15\\ \mathrm{K})\approx 74\\ \mathrm{J/mol\,K},
e C_{p,2}=C_p(T_2\!=\!468{,}15\\ \mathrm{K})\approx 95\\ \mathrm{J/mol\,K}.
Assumindo C_p(T) linear entre esses pontos, temos a integral analítica.
Variação de entalpia ideal (aproximação trapezoidal / média):
Interpretação rápida: a entalpia aumenta (pois o aquecimento de T_1 para T_2 domina), mas menos do que no caso ideal puro porque a parcela residual é negativa (efeito de alta pressão). A entropia diminui porque a compressão a alta pressão reduz a entropia mais do que o aquecimento a aumenta.
Resposta
v_2 \approx 1{,}845\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3/mol} (=0{,}1845\\ \mathrm{L/mol})\n \Delta h \approx 5{,}60\\ \mathrm{kJ/mol}\n \Delta s \approx -6{,}59\\ \mathrm{J/mol\,K}