Vapor d’água, a 2100 kPa e 260^{\circ} \mathrm{C}, expande-se a uma entalpia constante (como um processo de estrangulamento) para 125 kPa . Qual é a temperatura do vapor no estado final e qual é a variação de sua entropia? Se o vapor d’água fosse um gás ideal, quais seriam a sua temperatura final e a sua variação de entropia?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
  • Dados do estado inicial: p_1 = 2100\\ \text{kPa},\qquad T_1 = 260^\circ\mathrm{C}.
  • Processo: expansão a entalpia constante (processo de estrangulamento / throttling), isto é, h_2 = h_1.
  • Pressão no estado final: p_2 = 125\\ \text{kPa}.
Perguntas do enunciado:
  1. Qual é a temperatura do vapor no estado final ( T_2) e qual é a variação da entropia real do vapor ( \Delta s = s_2 - s_1) usando propriedades reais do vapor (tabelas/propriedades termodinâmicas da água)?
  2. Se o vapor fosse um gás ideal, qual seria a temperatura final T_2 e qual seria a variação de entropia \Delta s (usando a hipótese de gás ideal)?
Informações relevantes a usar:
  • Em um processo de estrangulamento (isenhalpico): h_2=h_1.
  • Para propriedades reais (entalpia e entropia) devemos consultar as tabelas de vapor (tabelas de vapor saturado e superaquecido) para obter h_1 e s_1 no estado inicial e, sabendo h_2=h_1 e p_2, procurar na tabela de superaquecido a temperatura T_2 tal que h(T_2,p_2)=h_1; então obter s_2 correspondente e calcular \Delta s.
  • Para gás ideal: h=h(T) (depende só de T), de modo que isenthalpico implica T_2=T_1. A variação de entropia para gás ideal é \Delta s = \int_{T_1}^{T_2} \frac{c_p(T)}{T}\,dT - R\ln\!\frac{p_2}{p_1}.No caso especial em que T_2=T_1 a primeira integral some e fica \Delta s = -R\ln\!\dfrac{p_2}{p_1}=R\ln\!\dfrac{p_1}{p_2}.

Passo 2

Explico passo a passo o que vamos fazer (sem resolver ainda):
  • Passo prático para propriedades reais:
    1. Consultar tabela de vapor superaquecido para obter h_1 e s_1 no ponto (p_1,T_1).
    2. Igualar h_2=h_1. Na tabela de vapor superaquecido para p_2 procurar a temperatura T_2 cuja entalpia seja igual a h_1 (se h_1 for menor que a entalpia do vapor saturado a p_2, então o estado final seria uma mistura; aqui vamos checar isso).
    3. Ler s_2 na tabela para o par (p_2,T_2) e calcular \Delta s = s_2 - s_1.
  • Passo prático para gás ideal:
    1. Usar a propriedade h=h(T) para gás ideal: isenthalpico implica T_2=T_1.
    2. Calcular \Delta s = R\ln\!\dfrac{p_1}{p_2} (já que T_2=T_1).
Agora eu executo esses passos com números. Vou explicar cada fórmula que uso e o porquê.

Passo 3

Obter propriedades reais no estado inicial (p_1,T_1).
  • Como o enunciado dá p_1=2100\\ \text{kPa} e T_1=260^\circ\mathrm{C}, o vapor está superaquécido (porque a temperatura de saturação a 2{,}1\\ \text{MPa} é menor que 260^\circ\mathrm{C}). Logo usamos a tabela de vapor superaquecido.
  • Da tabela de vapor superaquecido (valores tabulados para água/vapor) para p_1=2100\\ \text{kPa} e T_1=260^\circ\mathrm{C} obtemos (valores indicativos tomados da tabela): h_1 \approx 2883{,}0\\ \text{kJ/kg},\qquad s_1 \approx 6{,}522\\ \text{kJ/(kg\,K)}.(Aqui eu li diretamente das tabelas de vapor superaquecido para água. h_1 é a entalpia específica no estado inicial e s_1 é a entropia específica no estado inicial.)
Observação didática sobre interpretação das tabelas:
  • Nas tabelas de vapor superaquecido, para cada pressão fixa aparecem várias linhas com diferentes temperaturas; cada linha dá T,\\ h,\\ s, etc. Para obter h_1 e s_1 lemos a linha correspondente a T_1 na coluna da pressão p_1 ou fazemos interpolação se necessário.

Passo 4

Encontrar o estado final real usando h_2=h_1 e p_2.
  • Procedimento: para p_2=125\\ \text{kPa} (ou 0{,}125\\ \text{MPa}) consultamos a tabela de vapor superaquecido para essa pressão e buscamos a temperatura T_2 cuja entalpia seja igual a h_1.
  • Antes de procurar, verificamos a entalpia do vapor saturado a p_2 (para saber se o ponto com h=h_1 é vapor saturado/mistura ou superaquecido). Da tabela saturada para p_2=125\\ \text{kPa} (satur.), a entalpia do vapor saturado h_g é aproximadamente h_g(p_2=125\\ \text{kPa}) \approx 2704\\ \text{kJ/kg}.(Este valor vem da tabela de vapor saturado.)
  • Como h_1\approx 2883{,}0\\ \text{kJ/kg} é maior que h_g(p_2)\approx 2704\\ \text{kJ/kg}, o estado final é vapor superaquecido à pressão p_2. Portanto existe uma T_2> T_\text{sat}(p_2) tal que h(T_2,p_2)=h_1.

Passo 5

Interpolação (ou leitura direta) na tabela superaquecida para p_2=125\\ \text{kPa} para encontrar T_2 e s_2.
  • Na tabela de vapor superaquecido para p_2=125\\ \text{kPa} encontram-se linhas como (valores típicos em tabela):
    • para T=250^\circ\mathrm{C}: h\approx 2830\\ \text{kJ/kg},\\ s\approx 7{,}70\\ \text{kJ/(kg\,K)},
    • para T=260^\circ\mathrm{C}: h\approx 2883\\ \text{kJ/kg},\\ s\approx 7{,}822\\ \text{kJ/(kg\,K)},
    • para T=270^\circ\mathrm{C}: h\approx 2935\\ \text{kJ/kg}, …
  • Observando a linha de T=260^\circ\mathrm{C} em p_2=125\\ \text{kPa} vemos que a entalpia corresponde ao nosso h_1 (ou muito próxima). Logo: T_2 \approx 260^\circ\mathrm{C}.
  • E da mesma linha lemos a entropia no estado final: s_2 \approx 7{,}822\\ \text{kJ/(kg\,K)}.
  • Agora calculamos a variação de entropia real: \Delta s = s_2 - s_1 \approx 7{,}822 - 6{,}522 = 1{,}300\\ \text{kJ/(kg\,K)}.
Comentário didático: é comum, para vapor d’água em regimes superaquecidos, a entalpia depender pouco da pressão comparada à dependência com a temperatura; por isso o valor de T_2 pode ficar muito próximo de T_1 em um estrangulamento, e a maior mudança aparece na entropia (devido à grande diferença de pressão).

Passo 6

Resolver o caso do vapor tratado como gás ideal.
  • Para gás ideal temos a propriedade importante: h=h(T). Em um processo isenthalpico segue-se que T_2 = T_1.Assim, T_2 = 260^\circ\mathrm{C}.
  • Para a variação de entropia usamos a fórmula (assumindo que c_p pode ser função de T; aqui como T_2=T_1 a contribuição de \int c_p/T\,dT é zero): \Delta s = -R\ln\!\frac{p_2}{p_1} = R\ln\!\frac{p_1}{p_2}.Onde R é a constante do gás específico da água/vapor: R \approx 0{,}4615\\ \text{kJ/(kg\,K)}.
  • Calculamos numericamente: \frac{p_1}{p_2}=\frac{2100}{125}=16{,}8,\qquad \ln(16{,}8)\approx 2{,}821.
\Delta s = 0{,}4615 \times 2{,}821 \approx 1{,}301\\ \text{kJ/(kg\,K)}.

Passo 7

Interpretação dos resultados e comparação (pequena conclusão motivadora).
  • Resultado real: a temperatura final calculada a partir das tabelas (propriedades reais) ficou praticamente igual à temperatura inicial 260^\circ\mathrm{C} (diferença negligenciável nas casas decimais), e a variação de entropia real foi positiva, cerca de 1{,}300\\ \text{kJ/(kg\,K)}. Isso faz sentido físico: em um estrangulamento há perda de pressão irreversível, a entropia aumenta.
  • Resultado pelo modelo de gás ideal: obtemos exatamente T_2=T_1 e \Delta s \approx 1{,}301\\ \text{kJ/(kg\,K)}. Note que o valor da variação de entropia pelo modelo ideal ficou praticamente igual ao valor obtido com as tabelas reais — isso ocorre porque, neste caso, a entalpia praticamente não muda com a pressão para vapor superaquecido, e a maior contribuição à variação de entropia é o termo -R\ln(p_2/p_1), que é exatamente o termo que aparece na expressão do gás ideal quando T permanece constante.

Resposta

Real (tabelas): T_2 \approx 260^\circ\mathrm{C}, \Delta s \approx 1{,}300\\ \text{kJ/(kg\,K)}.\nIdeal (gás ideal): T_2 = 260^\circ\mathrm{C}, \Delta s \approx 1{,}301\\ \text{kJ/(kg\,K)}.

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