Given the following functions mathbfF(s), find f(t).
F(s)=(s+4)(s+8)s(s^2+8 s+32)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=(s+4)(s+8)sl(s^2+8s+32r)
O conteúdo é inversão de Laplace por frações parciais. Precisamos fatorar o denominador como sl[(s+4)^2+16r] e fazer a decomposição em partes simples.

Passo 2

Reescrevemos o denominador e propomos a forma de frações parciais:
s^2+8s+32 = (s+4)^2+16,
então
(s+4)(s+8)sl[(s+4)^2+16r] = As + B(s+4)+C(s+4)^2+16
Multiplicando ambos os lados por sl[(s+4)^2+16r] obtém-se
s^2+12s+32 = Al((s+4)^2+16r) ;+; sl(B(s+4)+Cr)

Passo 3

Expandindo e igualando coeficientes em s^2, s^1 e termo constante:
(s+4)^2+16 = s^2+8s+32,
A(s^2+8s+32) + B,s(s+4) + C,s = (A+B)s^2 + (8A+4B+C)s + 32A
Igualando a s^2+12s+32
A+B=1, 8A+4B+C=12, 32A=32
Logo A=1, B=0 e C=4. Então
F(s)=1s+4(s+4)^2+4^2

Passo 4

Usamos as inversas conhecidas:
L^-1ltfrac1sr(t)=1, L^-1!l1(s+a)^2+b^2r(t) = e^-at,sin(bt)b
Aqui a=4 e b=4, logo
L^-1!ltfrac4(s+4)^2+4^2r(t) =4cdot e^-4t,sin(4t)4 = e^-4tsin(4t)

Resposta

f(t) = 1 + e^-4t,sin(4t), t>=0

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