Para o gradador a seguir, calcule as correntes eficazes no tiristor T1 e no diodo D3. A tensão V1=440 V e o resistor R=100 Omega. O ângulo de disparo é de 70^circ.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um circuito chamado gradador, que é basicamente um retificador controlado usando tiristores e diodos. Precisamos calcular as correntes eficazes (RMS) que passam pelo tiristor T1 e pelo diodo D3. As informações que temos são:
  • Tensão de entrada, $ V_{1} = 440 , V $
  • Resistência, $ R = 100 , \Omega $
  • Ângulo de disparo, $ \alpha = 70^{\circ} $
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de retificação controlada, analisar os intervalos de condução do tiristor e do diodo, e aplicar a fórmula para calcular a corrente eficaz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como funciona o circuito. Em um retificador controlado com tiristor e diodo, o tiristor T1 é acionado no ângulo de disparo $ \alpha $, o que significa que ele começa a conduzir após esse ângulo durante cada semiciclo positivo da tensão de entrada. O diodo D3, por outro lado, conduz durante o resto do ciclo.

Passo 3

Agora, vamos identificar os intervalos de condução:
  • Tiristor T1: Conduz de $ \alpha $ a $ \pi $ (de $ 70^{\circ} $ a $ 180^{\circ} $) no semiciclo positivo.
  • Diodo D3: Conduz de $ \pi $ a $ 2\pi $ (de $ 180^{\circ} $ a $ 360^{\circ} $) no semiciclo negativo.

Passo 4

A corrente eficaz (RMS) é calculada usando a fórmula:
IRMS = raiz1T integral0^T i^2(t) , dt
Onde $ T $ é o período da tensão de entrada. Como estamos lidando com uma tensão de $ 440 , V $ em regime de corrente alternada, assumimos que a frequência é 50 Hz, então $ T = \frac{1}{50} = 0,02 , s $.

Passo 5

Vamos calcular a corrente passando pelo tiristor T1. Durante o intervalo de $ \alpha $ a $ \pi $, a corrente é:
alpha
Onde $ \omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi , rad/s $.

Passo 6

A corrente eficaz através do tiristor T1 será:
IT1 = raiz1T integralalpha^pi (4,4 sin(omega t))^2 , dt
Simplificando:
IT1 = 4,4 raiz1T integralalpha^pi sin^2(omega t) , dt

Passo 7

Usamos a identidade trigonométrica $ \sin^{2}(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $ para simplificar a integral:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
IT1 = 4,4 raiz1T integralalpha^pi 1 - cos(2omega t)2 , dt

Passo 8

Calculando a integral:
IT1 = 4,4 raiz12 times 0,02 [ (pi - alpha) - sin(2omega pi) - sin(2omega alpha)2omega ]
Sabemos que $ \sin(2\omega \pi) = 0 $ e $ \omega = 100\pi $:
sin(2omega pi) = 0

Passo 9

Substituindo $ \alpha = 70^{\circ} = \frac{7\pi}{18} $ rad e simplificando:
alpha = 70^circ = 7pi18
Calculando os valores numéricos:
IT1 = 4,4 raiz25 [ pi - 7pi18 - -sin(7pi9)200pi ]

Passo 10

Finalmente, calculamos o valor de $ I_{T1} $:
IT1

Passo 11

Agora vamos calcular a corrente passando pelo diodo D3. O diodo conduz durante todo o semiciclo negativo, ou seja, de $ \pi $ a $ 2\pi $.
A corrente durante esse intervalo é:
pi

Passo 12

A corrente eficaz através do diodo D3 será:
ID3 = raiz1T integralpi^2pi (4,4 sin(omega t))^2 , dt
Seguindo o mesmo processo do tiristor:
ID3 = 4,4 raiz1T integralpi^2pi sin^2(omega t) , dt = 4,4 raiz12T [ t - sin(2omega t)2omega ]pi^2pi

Passo 13

Calculando a integral:
ID3 = 4,4 raiz12 times 0,02 [ (2pi - pi) - sin(4omega pi) - sin(2omega pi)2omega ] = 4,4 raiz10,04 [ pi - 0 ] = 4,4 raiz25 pi approx 4,4 times 8,86 approx 39,0 , A

Resposta

A corrente eficaz no tiristor T1 é aproximadamente $ 17,07 , A $ e a corrente eficaz no diodo D3 é aproximadamente $ 39,0 , A $.

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