1. Uma iinha de transmissão em aberto, com comprimento 1=30 \mathrm{~cm}, é excitada por uma fonte de tensão de amplitude 5 V e resistência interna de 15 \Omega. Os parâmetros dessa linha são: \mathrm{L}=450 \mathrm{nH} / \mathrm{m}, \mathrm{C}=0,8 \mathrm{pF} / \mathrm{m}, \mathrm{G}=\mathrm{R}=0. Determine a) a impedância característica, b) a tensão nos terminais da fonte e c ) a tensäo nó final da linha. (2 pontos)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
    • comprimento da linha: l=30\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m}.
    • fonte: tensão de amplitude V_g=5\\ \mathrm{V} e resistência interna R_s=15\\ \Omega.
    • parâmetros por metro da linha: L=450\\ \mathrm{nH/m}=450\times10^{-9}\\ \mathrm{H/m}, C=0{,}8\\ \mathrm{pF/m}=0{,}8\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
    • perdas nulas: R=0 e G=0 (linha lossless).
  • O enunciado pede:
    a) a impedância característica da linha;
    b) a tensão nos terminais da fonte (ou seja, a tensão aplicada à entrada da linha imediatamente após a excitação);
    c) a tensão no extremo final da linha (terminação em aberto).
Observação sobre interpretação (não peço nada ao usuário): como não foi dada frequência nem regime senoidal, a interpretação mais natural para este tipo de problema é o regime de passo/instante inicial: ao aplicar a fonte, durante o tempo até que a onda chegue ao fim e volte, a linha se comporta como uma impedância igual a Z_0. Vou usar essa abordagem padrão (onda incidente, reflexão na carga aberta) para calcular as tensões solicitadas.

Passo 2

Aula curta: definição e cálculo da impedância característica de uma linha lossless.
  • Conceito: para uma linha de transmissão lossless (com R=G=0), a impedância característica Z_0 é a relação entre a tensão e a corrente da onda que se propaga na linha quando esta é “infinita” ou quando se observa a linha no instante inicial antes de qualquer reflexão. A fórmula é
Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}.
Aqui L é a indutância por unidade de comprimento (em \mathrm{H/m}) e C é a capacitância por unidade de comprimento (em \mathrm{F/m}).
  • Aplicando os valores dados:
Z_0=\sqrt{\frac{450\times10^{-9}}{0{,}8\times10^{-12}}}.
Faço primeiro a divisão dentro da raiz:
\frac{450\times10^{-9}}{0{,}8\times10^{-12}}=\frac{450}{0{,}8}\times10^{3}=562{,}5\times10^{3}=562500.
Agora a raiz:
Z_0=\sqrt{562500}=750\\ \Omega.
Portanto a impedância característica é Z_0=750\\ \Omega.

Passo 3

Aula curta: comportamento inicial da linha quando se aplica um degrau (ou uma fonte que “é ligada”). Divisão de tensão com Z_0.
  • Ideia física simples e usada em provas: logo após aplicar a fonte, antes de a onda refletida do fim (aberto) retornar ao gerador, a entrada da linha “vê” a impedância Z_0. Assim a fonte V_g com resistência interna R_s forma um divisor com Z_0. A corrente inicial que parte para a linha é
I_0=\frac{V_g}{R_s+Z_0}.
  • A tensão da onda incidente (a tensão efetivamente aplicada na entrada da linha, também chamada de tensão nos terminais da fonte nesse instante) é a queda sobre Z_0:
V_+=I_0\;Z_0=\frac{V_g\,Z_0}{R_s+Z_0}.
Aqui V_+ é a amplitude da onda incidente que viaja ao longo da linha.
  • Calculo numérico com V_g=5\\ \mathrm{V}, R_s=15\\ \Omega, Z_0=750\\ \Omega:
V_+=\frac{5\cdot750}{15+750}=\frac{3750}{765}.
Faço a divisão:
\frac{3750}{765}\approx4{,}90196078\\ \mathrm{V}.
Arredondando, V_+\approx4{,}90\\ \mathrm{V}.
  • Interpretação: portanto, imediatamente após a excitação (antes de qualquer reflexão chegar), a tensão nos terminais da fonte (a tensão aplicada à entrada da linha) é V_+\approx4{,}90\\ \mathrm{V}. (Se alguém perguntasse a corrente inicial: I_0=V_+ / Z_0 \approx 4{,}90196/750\approx6{,}536\times10^{-3}\\ \mathrm{A}=6{,}54\\ \mathrm{mA}.)

Passo 4

Aula curta: reflexão na terminação aberta e tensão no extremo da linha.
  • Fórmula da reflexão na carga: o coeficiente de reflexão na carga é
\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0},
onde Z_L é a impedância de terminação. Para terminação em aberto tem-se Z_L=\infty. Substituindo,
\Gamma_L=+1.
Isto significa que a onda incidente é totalmente refletida com mesma amplitude e mesma fase (reflexão positiva).
  • A onda refletida tem amplitude V_-= \Gamma_L V_+ = V_+. No instante em que a onda refletida se somar à incidente no extremo aberto (isto ocorre quando a onda incidente atinge o extremo e a reflexão é gerada), a tensão total no final da linha é
V_{\text{fim}}=V_++V_-=V_++V_+=2V_+.
  • Calculo numérico:
V_{\text{fim}}=2\cdot4{,}90196078\\ \mathrm{V}\approx9{,}8039216\\ \mathrm{V}.
Arredondando, V_{\text{fim}}\approx9{,}80\\ \mathrm{V}.
  • Observação temporal (opcional e didática): a reflexão que dobra a tensão no fim só acontece após a onda incidente percorrer a linha até o fim. A velocidade de propagação numa linha lossless é
v=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Calculando com os dados:
\sqrt{LC}=\sqrt{450\times10^{-9}\cdot0{,}8\times10^{-12}}=\sqrt{3{,}6\times10^{-19}}=6\times10^{-10},
v=\frac{1}{6\times10^{-10}}\approx1{,}667\times10^{9}\\ \mathrm{m/s}.
(O valor numérico é consequência direta dos parâmetros dados; o tempo de ida até o fim da linha é t_{\text{ida}}=l/v\approx0{,}3/1{,}667\times10^{9}\approx1{,}8\times10^{-10}\\ \mathrm{s}.) Esses números dão a escala de tempo na qual a reflexão aparece, mas não são necessários para calcular as tensões pedidas se consideramos a lógica onda incidente / reflexão.

Passo 5

Resumo físico e observações finais para a prova (como aplicar em problemas semelhantes):
  • Para linhas lossless, calcule Z_0=\sqrt{L/C}.
  • Ao aplicar um degrau por uma fonte com resistência interna R_s, antes de qualquer reflexão a entrada da linha se comporta como Z_0: faça divisor entre R_s e Z_0 para achar a tensão incidente V_+.
  • Para terminação aberta, reflexão é \Gamma_L=+1: a tensão no extremo, após a chegada da reflexão, é 2V_+.
  • Esses passos permitem resolver rapidamente problemas do tipo “degrau em linha com terminação aberta/curto” em provas.

Resposta

a) Z_0=750\\ \Omega
b) V_{\text{term. fonte}}=V_+=\dfrac{V_g\,Z_0}{R_s+Z_0}\approx4{,}90\\ \mathrm{V}
c) V_{\text{fim da linha}}=2V_+\approx9{,}80\\ \mathrm{V}