Imagine um gás perfeito, confinado num cilindro que tem um pistão adiabático interno, sem atrito, que divide o volume em duas seções, A e B. A seção B está em contato com um banho de água que mantém o gás a temperatura constante. Inicialmente se tem T_{A}=T_{B}=300 K, V_{A}=V_{B}= 2,0 L e n_{A}=n_{B}=2,0 mols. Injeta-se calor na seção A e o pistão se desloca para a direita, reversivelmente, até que o volume final do gás na seção B seja de 1,0 \mathrm{~L}. Calcule:
a) Quantidade de calor trocada pelo gás e a variação de \Delta \mathbf{U}, \Delta \mathbf{H} e \Delta \mathbf{S} no gás na seção B.
b) O trabalho realizado pelo gás e \Delta \mathbf{U}, \Delta \mathbf{H}, \Delta \mathbf{S} do gás na seção A. Admita que C_{V_{m}}=20,0 \mathrm{JK}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro dividido por um pistão adiabático em duas seções, A e B, cada uma contendo n_A=n_B=2{,}0 mol de gás perfeito. Inicialmente T_A=T_B=300 K e V_A=V_B=2{,}0 L. A seção B está em contato com um banho isotérmico a 300 K e, ao injetar calor em A, o pistão se desloca até que V_B caia para 1{,}0 L (logo V_A sobe para 3{,}0 L).
Conteúdo: equilíbrio mecânico, transformação isotérmica (B) e adiabatização reversível com troca de calor (A) de gás ideal. Calcularemos na seção B ( a) o calor Q_B, \Delta U_B, \Delta H_B e \Delta S_B; e na seção A ( b) o trabalho W_A, \Delta U_A, \Delta H_A e \Delta S_A, adotando C_{V,m}=20{,}0 J K ^{-1} mol ^{-1} e R=8{,}314 J K ^{-1} mol ^{-1}.

Passo 2

Para a seção B ocorre compressão isotérmica reversível a T_B=300 K com n_B=2{,}0 mol de gás perfeito.
Pela teoria de gás ideal e primeira lei para processo isotérmico:
\Delta U_B=0,\qquad \Delta H_B=0,
Q_B = n_B R T_B \ln\!\bigl(\tfrac{V_{B,f}}{V_{B,i}}\bigr),
\Delta S_B = n_B R \ln\!\bigl(\tfrac{V_{B,f}}{V_{B,i}}\bigr).

Passo 3

Substituindo n_B=2{,}0 mol, T_B=300 K, V_{B,i}=2{,}0 L, V_{B,f}=1{,}0 L e \ln(1/2)=-0{,}6931:
Q_B = 2\cdot 8{,}314 \cdot 300 \cdot (-0{,}6931) \approx -3{,}46\times10^3\\ \text{J},
\Delta U_B = 0,\quad \Delta H_B = 0,
\Delta S_B = 2\cdot 8{,}314 \cdot (-0{,}6931)\approx -11{,}5\\ \text{J/K}.

Passo 4

Na seção A o gás se expande de V_{A,i}=2{,}0 L para V_{A,f}=3{,}0 L. Como o pistão é reversível e equilibra pressões,
P_A = P_B = \frac{n_B R T_B}{V_B},
e usando V_B=V_{\rm tot}-V_A (com V_{\rm tot}=4{,}0 L), obtemos a temperatura final de A:
T_{A,f} = \frac{P_A V_{A,f}}{n_A R} = \frac{n_B R T_B}{n_A R}\,\frac{V_{A,f}}{V_{B,f}} = \frac{2\cdot300}{2}\,\frac{3}{1}=900\\ \text{K}.
Para o gás ideal em A:
\Delta U_A = n_A C_{V,m}(T_{A,f}-T_{A,i}),
\Delta S_A = n_A C_{V,m}\ln\!\bigl(\tfrac{T_{A,f}}{T_{A,i}}\bigr)+n_A R\ln\!\bigl(\tfrac{V_{A,f}}{V_{A,i}}\bigr),
W_A = \int_{V_{A,i}}^{V_{A,f}}P_A\,dV_A = \int_{V_{A,i}}^{V_{A,f}}\frac{n_B R T_B}{V_{\rm tot}-V_A}\,dV_A = n_B R T_B \ln\!\bigl(\tfrac{V_{B,i}}{V_{B,f}}\bigr).
E pela primeira lei Q_A=\Delta U_A+W_A. Ainda \Delta H_A=n_A C_{p,m}(T_{A,f}-T_{A,i}) com C_{p,m}=C_{V,m}+R.

Passo 5

Usando n_A=2{,}0 mol, C_{V,m}=20{,}0 J K ^{-1} mol ^{-1}, R=8{,}314 J K ^{-1} mol ^{-1}, T_{A,i}=300 K e T_{A,f}=900 K:
\Delta U_A = 2\cdot20\cdot(900-300)=2{,}40\times10^4\\ \text{J},
C_{p,m}=20{,}0+8{,}314=28{,}314\\ \text{J/K/mol},
\Delta H_A = 2\cdot28{,}314\cdot600\approx3{,}40\times10^4\\ \text{J},
\Delta S_A = 2\cdot20\ln\!3 + 2\cdot8{,}314\ln\!\tfrac{3}{2}\approx50{,}7\\ \text{J/K},
W_A = 2\cdot8{,}314\cdot300\ln2\approx3{,}46\times10^3\\ \text{J},
Q_A = \Delta U_A + W_A\approx2{,}75\times10^4\\ \text{J}.

Resposta

a) Seção B:
Q_B\approx -3{,}46\times10^3 J, \Delta U_B=0, \Delta H_B=0, \Delta S_B\approx -11{,}5 J/K
b) Seção A:
W_A\approx 3{,}46\times10^3 J, \Delta U_A\approx 2{,}40\times10^4 J, \Delta H_A\approx 3{,}40\times10^4 J, \Delta S_A\approx 50{,}7 J/K

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