A partir da equação termodinâmica de estado, determine a pressão interna de um gás ideal e de um gás de van der Waals.

Passo 1

O enunciado pede a pressão interna, definida termodinamicamente como
\pi_{T} \;=\;\Bigl(\frac{\partial U}{\partial V}\Bigr)_{T}\,,
para (a) um gás ideal e (b) um gás de van der Waals, sabendo que cada um tem sua equação de estado p(V,T). Vamos usar uma relação de Maxwell que conecta \pi_{T} à equação de estado.

Passo 2

A relação de Maxwell que permite calcular a pressão interna diretamente de p(V,T) é
\pi_{T} \;=\;T\,\Bigl(\frac{\partial p}{\partial T}\Bigr)_{V}\;-\;p\,.
Ela vem da identidade termodinâmica
\mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S - p\,\mathrm{d}V e dos diferenciais de p em T e V.

Passo 3

Para o gás ideal a equação de estado é
p \;=\;\frac{nRT}{V}\,.
Calculamos primeiro
\Bigl(\frac{\partial p}{\partial T}\Bigr)_{V} =\frac{nR}{V}\,,
logo
\pi_{T} = T\cdot\frac{nR}{V}\;-\;\frac{nRT}{V} =0.
Ou seja, para o gás ideal \pi_{T}=0.

Passo 4

Para o gás de van der Waals usamos
p \;=\;\frac{nRT}{V - nb}\;-\;\frac{a\,n^2}{V^2}\,.
Calculamos
\Bigl(\frac{\partial p}{\partial T}\Bigr)_{V} =\frac{nR}{V - nb}\,.
Substituindo em \pi_{T}:
\pi_{T} = T\cdot\frac{nR}{V - nb} -\Bigl(\frac{nRT}{V-nb}-\frac{a\,n^2}{V^2}\Bigr) =\frac{a\,n^2}{V^2}\,.

Resposta

Para o gás ideal:
\pi_{T}=0.
Para o gás de van der Waals:
\pi_{T}=\frac{a\,n^2}{V^2}.

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