Indique, em termos das bandas de energia, qual é o comportamento elétrico de materiais semicondutores quando submetidos à temperatura de: a) 0 K ; b) 300 K .
Passo 1
O que a questão pede: indicar, em termos das bandas de energia, qual é o comportamento elétrico de um semicondutor submetido às temperaturas 0\\ \text{K} e 300\\ \text{K}.
Informações relevantes que vamos usar (essas são as “peças” do enunciado implícitas no tema):
Banda de valência: região de estados de energia ocupáveis por elétrons ligados; denomina-se \text{VB}.
Banda de condução: região de estados de energia disponíveis para elétrons livres que conduzem corrente; denomina-se \text{CB}.
Band gap: diferença de energia entre o topo da banda de valência e o fundo da banda de condução, denotada por E_g.
Nível de Fermi: energia química dos elétrons em equilíbrio, denotada por E_F.
Distribuição de ocupação dos estados eletrônicos depende da temperatura via função de Fermi–Dirac f(E).
O enunciado não especifica se o semicondutor é intrínseco (puros) ou dopado; vou explicar o comportamento em ambos os casos, explicitando as diferenças.
Passo 2
Explicar como se calcula a probabilidade de um estado de energia E estar ocupado por um elétron: a função de Fermi–Dirac.
Interpretação física simples: f(E) dá a fração média de ocupação do estado de energia E. Quando E\ll E_F temos f(E)\approx 1 (estado praticamente cheio); quando E\gg E_F temos f(E)\approx 0 (estado praticamente vazio). A temperatura controla a “suavidade” dessa passagem.
Passo 3
Limite [T\to 0\ K): comportamento da função de Fermi–Dirac e consequência nas bandas.
No limite T\to 0\\ \text{K} a função de Fermi–Dirac vira uma função degrau:
Ou seja, todos os estados com energia menor que E_F\] estão ocupados e os acima de \(E_F estão vazios.
Aplicando isso a um semicondutor intrínseco em 0\\ \text{K}:
A banda de valência (\text{VB}) está totalmente cheia (todos os estados ocupados).
A banda de condução (\text{CB}) está totalmente vazia (todos os estados vazios).
Não há elétrons livres na \text{CB} nem lacunas móveis na \text{VB} para conduzir corrente.
Portanto, em termos elétricos, o semicondutor se comporta como um isolante perfeito em 0\\ \text{K} (resistividade extremamente alta).
Observação sobre semicondutor dopado em 0\\ \text{K}:
Numa amostra com impurezas doadoras (níveis ligeiramente abaixo da \text{CB}) ou aceitadoras (níveis ligeiramente acima da \text{VB}), a energia térmica é nula em 0\\ \text{K}, logo elétrons doadores permanecem ligados aos átomos doadores e lacunas aceitadoras permanecem preenchidas — não há ionização térmica. Assim, também não há portadores livres adicionais: o material continua isolante à 0\\ \text{K} (exceto efeitos quânticos especiais ou dopagem tão forte que forma bandas de impurezas condutoras, caso fora do escopo simples).]
Passo 4
Comportamento a temperatura finita: visão qualitativa para T=300\\ \text{K}.
A T=300\\ \text{K} (temperatura ambiente) a função de Fermi–Dirac não é um degrau; há uma “cauda” de probabilidade de ocupação acima de E_F e uma “falta” abaixo de E_F. Isso permite que alguns elétrons na \text{VB} sejam excitados termicamente para a \text{CB} atravessando a lacuna E_g. Esses elétrons na \text{CB} e as lacunas deixadas na \text{VB} são os portadores responsáveis pela condução elétrica.
Dica matemática útil (aproximação de Boltzmann): se E-E_F\gg kT então
f(E)\approx \exp\!\big(-\tfrac{E-E_F}{kT}\big).
Para semicondutores intrínsecos isso leva à expressão da concentração intrínseca de portadores:
n_i é a concentração de elétrons na \text{CB} (igual à concentração de lacunas p_i na \text{VB} para semicondutor intrínseco);
N_C e N_V são as densidades efetivas de estados da \text{CB} e da \text{VB}, que dependem da massa efetiva dos portadores e de T;
E_g é a banda proibida entre \text{VB} e \text{CB};
kT na temperatura T fornece a energia térmica disponível.
Interpretação: a razão \exp\!\big(-\dfrac{E_g}{2kT}\big) explica por que a população de portadores aumenta muito com a temperatura e por que materiais com E_g menor conduzem melhor à mesma temperatura.
Passo 5
Aplicação numérica ilustrativa e comparação com metais.
Exemplo (apenas para intuir ordens de grandeza): para o silício com E_g\approx 1{,}12\\ \text{eV} a 300\\ \text{K} obtém‑se um n_i da ordem de 10^{10} a 10^{11}\\ \text{cm}^{-3}. Isso é muito menor do que a densidade de elétrons livres em um metal (tipicamente \sim 10^{22}\\ \text{cm}^{-3}), por isso:
Semicondutor intrínseco a 300\\ \text{K} conduz corrente, mas bem menos que um metal.
A condutividade é muito sensível à temperatura por causa do fator exponencial em E_g/(kT).
Passo 6
Efeito da dopagem a 300\\ \text{K}: por que semicondutores dopados conduzem muito melhor que intrínsecos.
Em semicondutores dopados com doadores (n-type), os níveis doadores têm energia ligeiramente abaixo da \text{CB}. A 300\\ \text{K} esses níveis se ionizam (os elétrons ganham energia térmica suficiente para atingir a \text{CB}), aumentando fortemente a concentração de elétrons n na \text{CB}.
Em semicondutores dopados com aceitadores (p-type), níveis aceitadores aceitam elétrons da \text{VB}, gerando lacunas móveis na \text{VB}.
Para dopagem moderada a forte a 300\\ \text{K} a condutividade é dominada por portadores de dopagem e pode se aproximar de condutividades muito maiores do que a intrínseca.
Resumo físico simples: a 300\\ \text{K} há energia térmica suficiente para ionizar a maioria das impurezas rasas e também para promover alguns elétrons intrínsecos, por isso semicondutores (especialmente dopados) mostram condutividade apreciável à temperatura ambiente.
Passo 7
Resumindo didaticamente o contraste entre 0\\ \text{K} e 300\\ \text{K} em termos de bandas:
A 0\\ \text{K} a ocupação segue degrau de Fermi: \text{VB} cheia e \text{CB} vazia — nenhum portador livre, comportamento isolante; impurezas rasas não são ionizadas.
A 300\\ \text{K} a distribuição tem cauda térmica: alguns elétrons passam da \text{VB} para a \text{CB} (intrínseco) e impurezas rasas ficam ionizadas (dopados), criando portadores livres que permitem condução elétrica moderada a alta dependendo da dopagem.
Resposta
a) 0\\ \text{K}: \text{VB} totalmente ocupada e \text{CB} vazia; sem portadores livres — comportamento isolante (semicondutor comporta‑se como isolante).
b) 300\\ \text{K}: distribuição térmica permite excitação de elétrons da \text{VB} para a \text{CB} e ionização de impurezas; existem portadores livres (n,p>0) — comportamento condutor (semicondutor com condutividade moderada; dopados podem conduzir fortemente).