- Uma indústria dispõe de um compressor do tipo alternativo para obter ar comprimido, o qual possui um conjunto cilindro-pistão. A compressão ocorre com as válvulas de admissão e descarga fechadas. O volume inicial ocupado pelo ar no interior do cilindro, antes da compressão é de 1000 cm 3 . A pressão inicial é de 1,0 bar e a temperatura inicial é de
. Deseja-se obter ar comprimido a 7,0 bar. Nestas condições pede-se a) Massa de ar no interior do cilindro. b) O volume final do ar, considerando-se que durante a compressão não há variação significativa da temperatura do mesmo (em cm3). c) O trabalho necessário para realizar a compressão do ar (em kJ)
Passo 1
O enunciado pede três coisas e dá os dados abaixo.
Perguntas:
- (a) A massa de ar no interior do cilindro.
- (b) O volume final do ar, assumindo que a temperatura não varia significativamente durante a compressão (ou seja, compressão isotérmica).
- (c) O trabalho necessário para realizar a compressão (em kJ).
Dados fornecidos:
Observação: não vou resolver nada aqui, só organizei o que foi pedido e o que foi dado para ficar claro.
Passo 2
Primeiro: converter unidades para o SI (porque as fórmulas termodinâmicas que usaremos exigem Pa, m^3 e K).
- Temperatura:
. Escrevo em TeX:
- Volume:
, então
- Pressão:
, então
Também vou usar a constante dos gases para o ar (constante específica):
Explicação curta:
é a constante dos gases por unidade de massa para o ar; aparece na forma
(lei dos gases ideais escrita em termos de massa).
Passo 3
(a) Massa de ar no cilindro — usar a lei dos gases ideais em forma prática:
onde
é a pressão (Pa),
o volume (m^3),
a massa (kg),
a constante específica do gás (J·kg{-1}·K{-1}) e
a temperatura absoluta (K).
Isolando
:
Agora substituo os valores já convertidos:
Faço as contas passo a passo:
Interpretação intuitiva: na verdade o produto
é a energia em joules que, dividida por
, dá a massa — é apenas a aplicação direta da lei dos gases.
Passo 4
(b) Volume final
sob compressão isotérmica (temperatura constante): para um gás ideal em processo isotérmico temos
Isolando
:
Como
, posso calcular diretamente em
usando os volumes originais:
Arredondando de forma prática para a prova:
.
Explicação rápida: em isotérmico a pressão aumenta na mesma razão que o volume diminui (produto constante).
Passo 5
(c) Trabalho necessário para realizar a compressão isotérmica.
Teoria (pequena aula): o trabalho (reversível) realizado sobre o gás ao variar o volume de
para
é
Para um gás ideal isotérmico usamos
. Substituindo:
Note o sinal: esta expressão dá o trabalho feito pelo gás (quando
ele é positivo). Para compressão (redução de volume) o trabalho realizado sobre o gás é o negativo do trabalho do gás, então comumente usamos:
Uma simplificação muito prática é usar
(pela lei dos gases no estado 1). Assim:
Como
, também podemos escrever
Passo 6
Cálculo numérico do trabalho (em J e em kJ).
Usando
(calculado no Passo 3) e
:
Convertendo para kJ:
Interpretação: esse é o trabalho que precisamos fornecer ao pistão para comprimir o ar isotermicamente de 1 bar para 7 bar, no volume dado. O valor é pequeno porque o volume inicial é pequeno (
).