• Uma indústria dispõe de um compressor do tipo alternativo para obter ar comprimido, o qual possui um conjunto cilindro-pistão. A compressão ocorre com as válvulas de admissão e descarga fechadas. O volume inicial ocupado pelo ar no interior do cilindro, antes da compressão é de 1000 cm 3 . A pressão inicial é de 1,0 bar e a temperatura inicial é de 27^{\circ} \mathrm{C}. Deseja-se obter ar comprimido a 7,0 bar. Nestas condições pede-se a) Massa de ar no interior do cilindro. b) O volume final do ar, considerando-se que durante a compressão não há variação significativa da temperatura do mesmo (em cm3). c) O trabalho necessário para realizar a compressão do ar (em kJ)

Passo 1

O enunciado pede três coisas e dá os dados abaixo.
Perguntas:
  • (a) A massa de ar no interior do cilindro.
  • (b) O volume final do ar, assumindo que a temperatura não varia significativamente durante a compressão (ou seja, compressão isotérmica).
  • (c) O trabalho necessário para realizar a compressão (em kJ).
Dados fornecidos:
V_1 = 1000\\ \mathrm{cm}^3
p_1 = 1{,}0\\ \mathrm{bar}
T_1 = 27^\circ\mathrm{C}
p_2 = 7{,}0\\ \mathrm{bar}
Observação: não vou resolver nada aqui, só organizei o que foi pedido e o que foi dado para ficar claro.

Passo 2

Primeiro: converter unidades para o SI (porque as fórmulas termodinâmicas que usaremos exigem Pa, m^3 e K).
  • Temperatura: \displaystyle T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273 = 300\\ \mathrm{K}. Escrevo em TeX:
T_1 = 300\\ \mathrm{K}.
  • Volume: \displaystyle 1\\ \mathrm{cm}^3 = 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3, então
V_1 = 1000\\ \mathrm{cm}^3 = 1000\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3 = 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
  • Pressão: \displaystyle 1\\ \mathrm{bar} = 10^5\\ \mathrm{Pa}, então
p_1 = 1{,}0\\ \mathrm{bar} = 1{,}0\times 10^5\\ \mathrm{Pa}, \qquad p_2 = 7{,}0\\ \mathrm{bar} = 7{,}0\times 10^5\\ \mathrm{Pa}.
Também vou usar a constante dos gases para o ar (constante específica):
R = 287\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}\\ K^{-1}}.
Explicação curta: R é a constante dos gases por unidade de massa para o ar; aparece na forma pV = m R T (lei dos gases ideais escrita em termos de massa).

Passo 3

(a) Massa de ar no cilindro — usar a lei dos gases ideais em forma prática:
pV = m R T,
onde p é a pressão (Pa), V o volume (m^3), m a massa (kg), R a constante específica do gás (J·kg{-1}·K{-1}) e T a temperatura absoluta (K).
Isolando m:
m = \frac{p_1 V_1}{R T_1}.
Agora substituo os valores já convertidos:
m = \frac{(1{,}0\times 10^5\\ \mathrm{Pa})\,(1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3)}{287\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}\times 300\\ \mathrm{K}}.
Faço as contas passo a passo:
p_1 V_1 = 1{,}0\times 10^5 \times 1{,}0\times 10^{-3} = 100\\ \mathrm{J}.
R T_1 = 287 \times 300 = 86100\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}}.
m = \frac{100}{86100} \approx 1{,}161\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg}.
Interpretação intuitiva: na verdade o produto p_1V_1 é a energia em joules que, dividida por RT, dá a massa — é apenas a aplicação direta da lei dos gases.

Passo 4

(b) Volume final V_2 sob compressão isotérmica (temperatura constante): para um gás ideal em processo isotérmico temos
pV = \text{constante} \quad\Rightarrow\quad p_1 V_1 = p_2 V_2.
Isolando V_2:
V_2 = \frac{p_1 V_1}{p_2}.
Como p_1/p_2 = 1/7, posso calcular diretamente em \mathrm{cm}^3 usando os volumes originais:
V_2 = \frac{1{,}0}{7{,}0}\times 1000\\ \mathrm{cm}^3 = \frac{1000}{7}\\ \mathrm{cm}^3 \approx 142{,}857\\ \mathrm{cm}^3.
Arredondando de forma prática para a prova: V_2 \approx 143\\ \mathrm{cm}^3.
Explicação rápida: em isotérmico a pressão aumenta na mesma razão que o volume diminui (produto constante).

Passo 5

(c) Trabalho necessário para realizar a compressão isotérmica.
Teoria (pequena aula): o trabalho (reversível) realizado sobre o gás ao variar o volume de V_1 para V_2 é
W_{\text{on}} = \int_{V_1}^{V_2} p\,\mathrm{d}V.
Para um gás ideal isotérmico usamos p = \dfrac{m R T}{V}. Substituindo:
W_{\text{on}} = \int_{V_1}^{V_2} \frac{m R T}{V}\,\mathrm{d}V = m R T \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Note o sinal: esta expressão dá o trabalho feito pelo gás (quando V_2>V_1 ele é positivo). Para compressão (redução de volume) o trabalho realizado sobre o gás é o negativo do trabalho do gás, então comumente usamos:
W_{\text{on}} = m R T \ln\!\left(\frac{V_1}{V_2}\right).
Uma simplificação muito prática é usar m R T = p_1 V_1 (pela lei dos gases no estado 1). Assim:
W_{\text{on}} = p_1 V_1 \ln\!\left(\frac{V_1}{V_2}\right).
Como \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{p_2}{p_1}, também podemos escrever
W_{\text{on}} = p_1 V_1 \ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).

Passo 6

Cálculo numérico do trabalho (em J e em kJ).
Usando p_1 V_1 = 100\\ \mathrm{J} (calculado no Passo 3) e \ln(7)\approx 1{,}94591:
W_{\text{on}} = 100 \times \ln(7) \approx 100\times 1{,}94591 = 194{,}591\\ \mathrm{J}.
Convertendo para kJ:
W_{\text{on}} \approx 0{,}1946\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: esse é o trabalho que precisamos fornecer ao pistão para comprimir o ar isotermicamente de 1 bar para 7 bar, no volume dado. O valor é pequeno porque o volume inicial é pequeno ( 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3).

Resposta

\,m = 1{,}161\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg}
\,V_2 = 143\\ \mathrm{cm}^3
\,W = 0{,}195\\ \mathrm{kJ}

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