Inicialmente, um tanque rigido, de volume 1 \mathrm{~m}^{3}, contém №2 a 0,6 \mathrm{MPa} e 400 K . Suponha que ocorra o vazamento de 0,5 \mathrm{~kg} de N_2 para a atmosfera. Sabendo que a temperatura do N_2 no tanque após o vazamento é \mathbf{3 7 5} K, determine a pressão no tanque no estado final desse processo. Considere que o N_2 comporta-se como um gás perfeito.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a pressão final:
  • Volume do tanque: V=1\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Gás: nitrogênio ( \mathrm{N_{2}}), tratado como gás perfeito.
  • Estado inicial: P_{1}=0{,}6\\ \mathrm{MPa} e T_{1}=400\\ \mathrm{K}.
  • Massa que vazou: 0{,}5\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura no tanque após o vazamento: T_{2}=375\\ \mathrm{K}.
    O que se pede: determinar a pressão final P_{2} no tanque após o vazamento.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida):
  • Para um gás perfeito a equação de estado é a lei dos gases ideais:
P V = m R T,
onde:
  • P é a pressão do gás (Pa),
  • V é o volume ocupado pelo gás ( \mathrm{m^3}),
  • m é a massa do gás (kg),
  • R é a constante específica do gás (J·kg{-1}·K{-1}),
  • T é a temperatura absoluta (K).
Num tanque rígido o volume V é constante. Logo, se conhecemos a massa m, a temperatura T e R, podemos obter a pressão por
P = \frac{m R T}{V}.
Estratégia prática para este problema:
  1. Calcular a massa inicial m_{1} a partir de P_{1},V,T_{1} usando m_{1} = \dfrac{P_{1}V}{R T_{1}}.
  2. Calcular a massa final m_{2} = m_{1} - 0{,}5.
  3. Calcular P_{2} = \dfrac{m_{2} R T_{2}}{V}.

Passo 3

Constante específica do \mathrm{N_{2}}:
  • Constante universal dos gases: R_{u}=8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Massa molar do \mathrm{N_{2}}: M=28{,}0134\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}=0{,}0280134\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
    A constante específica R do \mathrm{N_{2}} é
R=\frac{R_{u}}{M}=\frac{8{,}314462618}{0{,}0280134}\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}} \approx 296{,}8\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}.
Expliquei: R é a constante dos gases por unidade de massa; divide-se R_{u} pela massa molar em kg/mol.

Passo 4

Calcular a massa inicial m_{1} usando m_{1}=\dfrac{P_{1}V}{R T_{1}}.
Primeiro converto P_{1} para Pa: P_{1}=0{,}6\\ \mathrm{MPa}=600\,000\\ \mathrm{Pa}.
Substituindo:
m_{1}=\frac{600\,000\cdot 1}{296{,}8\cdot 400}.
Faço as contas passo a passo:
296{,}8\cdot 400 = 118\,720,
m_{1}=\frac{600\,000}{118\,720}\approx 5{,}0559\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Massa final m_{2} após o vazamento de 0{,}5\\ \mathrm{kg}:
m_{2}=m_{1}-0{,}5 \approx 5{,}0559-0{,}5 = 4{,}5559\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Calcular a pressão final P_{2} por P_{2}=\dfrac{m_{2} R T_{2}}{V}.
Substituindo m_{2}=4{,}5559\\ \mathrm{kg}, R=296{,}8\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}, T_{2}=375\\ \mathrm{K} e V=1\\ \mathrm{m^{3}}:
P_{2}=\frac{4{,}5559\cdot 296{,}8\cdot 375}{1}.
Calculo intermediário:
296{,}8\cdot 375 = 111\,300,
4{,}5559\cdot 111\,300 \approx 507\,084\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para MPa:
P_{2}\approx 0{,}507\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Interpretação final curta e motivação:
  • A pressão caiu porque parte da massa saiu do tanque; como o volume é fixo e a temperatura final é menor que a inicial, ambos efeitos reduzem a pressão comparada com P_{1}.
  • Valor final obtido: P_{2}\approx 0{,}507\\ \mathrm{MPa}. Vai com calma — ótima prática para prova: sempre calcule massa via m=PV/(RT) quando o volume for fixo.

Resposta

P_{2}\approx 0{,}507\\ \mathrm{MPa}

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