O volume específico do metano a 150 K e 1 MPa é de 0,0643 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg}. Ao considerar seu comportamento como de um gás perfeito, qual o erro percentual está sendo cometido? E qual o erro ao utilizar o diagrama de compressibilidade?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo de forma bem clara):
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura: T=150\\ \mathrm{K}.
    • Pressão: P=1\\ \mathrm{MPa}=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
    • Volume específico real do metano (experimental): v_{\text{real}}=0,0643\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • Perguntas:
    1. Ao considerar o metano como gás perfeito (ou seja, usar a equação dos gases ideais), qual é o erro percentual cometido em relação a v_{\text{real}}?
    2. Qual é o erro percentual se, em vez do gás ideal puro, for usado o diagrama de compressibilidade (ou seja, corrigir o gás ideal por um fator de compressibilidade Z obtido no diagrama)?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar para o caso do gás perfeito:
  • A equação dos gases perfeitos na forma por massa específica (volume específico) é
v_{\text{ideal}}=\frac{R\,T}{P},
onde:
  • v_{\text{ideal}} é o volume específico previsto pelo gás ideal (em \mathrm{m^{3}/kg});
  • R é a constante específica do gás (em \mathrm{J/(kg\cdot K)});
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K});
  • P é a pressão absoluta (em \mathrm{Pa}).
  • Para calcular R do metano usamos R=R_u/M, em que R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} é a constante universal e M é a massa molar do metano.
    • Massa molar do metano: M=16{,}04\\ \mathrm{g/mol}=0{,}01604\\ \mathrm{kg/mol}.
    • Logo,
    R=\frac{R_u}{M}=\frac{8{,}314462618}{0{,}01604}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\approx518{,}358\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 3

Calcular o volume específico previsto pelo gás ideal:
v_{\text{ideal}}=\frac{R\,T}{P}=\frac{518{,}358\times150}{1{,}0\times10^{6}}\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Fazendo a conta:
518{,}358\times150=77\,753{,}7,
v_{\text{ideal}}=\frac{77\,753{,}7}{1{,}0\times10^{6}}=0,0777537\\ \mathrm{m^{3}/kg}.

Passo 4

Calcular o erro percentual (definição que usaremos):
\text{erro percentual}=\frac{\text{valor estimado}-\text{valor real}}{\text{valor real}}\times100\%.
Aplicando ao modelo de gás perfeito:
\text{erro}_{\text{ideal}}=\frac{v_{\text{ideal}}-v_{\text{real}}}{v_{\text{real}}}\times100\%=\frac{0,0777537-0,0643}{0,0643}\times100\%.
Fazendo a conta:
0,0777537-0,0643=0,0134537,
\text{erro}_{\text{ideal}}=\frac{0,0134537}{0,0643}\times100\%\approx20{,}93\%.
Interpretação: o modelo de gás perfeito superestima o volume específico em cerca de 20{,}9\% (ou seja, prediz um volume maior que o real).

Passo 5

Agora vamos ao diagrama de compressibilidade: conceito e como usá-lo.
  • Definição do fator de compressibilidade Z:
Z=\frac{P\,v}{R\,T}.
  • Se usarmos o diagrama de compressibilidade (o diagrama generalizado Z versus P_r para várias T_r), lemos um valor de Z compatível com as condições reduzidas do fluido e então corrigimos o gás ideal por
v_{\text{corrigido}}=\frac{Z\,R\,T}{P}=Z\,v_{\text{ideal}}.

Passo 6

Calcular o Z real correspondente aos dados fornecidos (isso também nos diz que valor o diagrama de compressibilidade deveria fornecer):
Z_{\text{real}}=\frac{P\,v_{\text{real}}}{R\,T}=\frac{1{,}0\times10^{6}\times0,0643}{518{,}358\times150}.
Fazendo as contas:
1{,}0\times10^{6}\times0,0643=64\,300,
518{,}358\times150=77\,753{,}7,
Z_{\text{real}}=\frac{64\,300}{77\,753{,}7}\approx0{,}8270.
Comentário prático: ao consultar um diagrama de compressibilidade generalizado usando as propriedades reduzidas do metano — temperatura reduzida \,T_r=T/T_c e pressão reduzida \,P_r=P/P_c — para T=150\\ \mathrm{K} e P=1\\ \mathrm{MPa} encontra-se um Z da ordem de 0{,}83. (Nota: para o metano T_c\approx190{,}56\\ \mathrm{K} e P_c\approx4{,}599\\ \mathrm{MPa}, de modo que \,T_r\approx0{,}788 e \,P_r\approx0{,}217.)

Passo 7

Usar o Z do diagrama (vou tomar Z_{\text{chart}}\approx0{,}83, que é o valor que o diagrama generalizado dá para \,T_r\approx0{,}788 e \,P_r\approx0{,}217) e calcular o volume específico corrigido:
v_{\text{chart}}=Z_{\text{chart}}\,v_{\text{ideal}}=0{,}83\times0,0777537\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
v_{\text{chart}}\approx0{,}06456\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Agora o erro percentual relativo ao valor real:
\text{erro}_{\text{chart}}=\frac{v_{\text{chart}}-v_{\text{real}}}{v_{\text{real}}}\times100\%=\frac{0{,}06456-0{,}0643}{0{,}0643}\times100\%.
v_{\text{chart}}-v_{\text{real}}=0{,}00026,
\text{erro}_{\text{chart}}\approx\frac{0{,}00026}{0{,}0643}\times100\%\approx0{,}40\%.
Interpretação: usando o diagrama de compressibilidade (ou seja, aplicando Z\approx0{,}83) o erro cai para cerca de 0{,}4\%; o diagrama corrige quase totalmente o desvio do modelo do gás ideal nessa condição.

Passo 8

Resumo interpretativo rápido (para levar pra prova):
  • Fazer gás ideal é simples: calcula-se v_{\text{ideal}}=RT/P. Mas quando Z se afasta de 1 o erro pode ser grande — aqui foi \approx20{,}9\%.
  • O diagrama de compressibilidade fornece um Z que corrige o comportamento real: calcular v=ZRT/P. Normalmente o erro usando o diagrama é muito menor (aqui \approx0{,}4\%).
  • Dica prática: antes de assumir gás ideal verifique T_r e P_r. Se Z diferente de 1 por mais de alguns \%, use o diagrama ou uma equação de estado.

Resposta

Erro percentual usando gás perfeito: 20{,}9\% (superestima).
Erro percentual usando o diagrama de compressibilidade: 0{,}40\% (superestima).

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