Suco de laranja concentrado é produzido através da evaporação de água. Partindo de 100 litros de um suco integral deseja-se obter um suco com 50% de sólidos, em massa. A concentração é feita em um evaporador de 1000 litros com pressão controlada, que conta com um agitador de pás, que funciona com potência de 2 kW durante 2 horas. Calcule o calor necessário para a evaporação, considerando:
o processo ocorre à pressão atmosférica.
Dados:
O suco de laranja integral tem a seguinte composição, em massa: 89% de água, 0,59% de proteína, 0,14% de gordura, 9,85% de carboidratos, 0,20% de fibras e 0,41% de cinzas.
Os calores específicos dos sólidos podem ser calculados pelas seguintes equações:
Proteínas: \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=2,0082+1,2089 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}-1,3129 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
Gordura: \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=1,9842+1,4733 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}-4,8008 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
Carboidratos: \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=1,5488+1,9625 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}-5,9399 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
Fibras: \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=1,8459+1,8306 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}-4,6509 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
Cinzas: \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=1,0926+1,8896 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}-3,6817 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
Onde:
\mathrm{C}_{\mathrm{P}}= calor específico (kJ/(kg.K))

Passo 1

O que o problema pede e quais dados foram fornecidos.
  • Pedido: calcular o calor necessário para evaporar água ao concentrar 100 litros de suco integral até obter um suco com 50% (em massa) de sólidos. Deve-se considerar também a energia fornecida pelo agitador (2 kW durante 2 h).
  • Dados fornecidos:
    • Volume inicial do suco: 100 litros.
    • Objetivo: suco final com 50\% de sólidos em massa.
    • Evaporação em pressão atmosférica.
    • Agitador: potência =2\\ \text{kW}, tempo =2\\ \text{h}.
    • Composição do suco (em massa, como percentuais):
      • Água: 89{,}00\%
      • Proteínas: 0{,}59\%
      • Gordura: 0{,}14\%
      • Carboidratos: 9{,}85\%
      • Fibras: 0{,}20\%
      • Cinzas: 0{,}41\%
    • Equações fornecidas para o calor específico \mathrm{C_P} (kJ/(kg·K)) dos sólidos, em função da temperatura T (graus Celsius):
      • Proteínas: \mathrm{C_P}=2{,}0082+1{,}2089\cdot10^{-3}T-1{,}3129\cdot10^{-6}T^{2}
      • Gordura: \mathrm{C_P}=1{,}9842+1{,}4733\cdot10^{-3}T-4{,}8008\cdot10^{-6}T^{2}
      • Carboidratos: \mathrm{C_P}=1{,}5488+1{,}9625\cdot10^{-3}T-5{,}9399\cdot10^{-6}T^{2}
      • Fibras: \mathrm{C_P}=1{,}8459+1{,}8306\cdot10^{-3}T-4{,}6509\cdot10^{-6}T^{2}
      • Cinzas: \mathrm{C_P}=1{,}0926+1{,}8896\cdot10^{-3}T-3{,}6817\cdot10^{-6}T^{2}
Observações iniciais importantes (serão usadas na resolução):
  • O enunciado não dá temperatura inicial do suco nem a temperatura de ebulição do processo; portanto será necessário assumir valores razoáveis padrão para fazer as contas. Essas suposições e a justificativa aparecerão no Passo 2.
  • O enunciado também não fornece densidade do suco; por simplicidade e por ser prática comum, será usada a aproximação \rho\approx1{,}00\\ \text{kg/L} (logo 100 L \approx100 kg).
  • O problema não fornece o calor latente; usaremos o calor latente de vaporização da água à pressão atmosférica (ebulição próxima a 100^\circ\mathrm{C}): h_{fg}\approx2257\\ \text{kJ/kg}.
  • A resolução vai assumir que os sólidos são não voláteis (são retidos no concentrado), e que não há perdas térmicas externas (processo idealizado).

Passo 2

Transformar dados percentuais em massas iniciais e normalizar (pequena inconsistência nas porcentagens) — definição das hipóteses numéricas.
  • Converter volume inicial em massa, supondo \rho=1{,}00\\ \text{kg/L}: m_{\text{total,ini}}=100\\ \text{L}\times1{,}00\\ \frac{\text{kg}}{\text{L}}=100\\ \text{kg}.
  • Os percentuais dados somam ligeiramente mais que 100\% (soma = 100{,}19\%). Para evitar pequeno erro de soma, normaliza-se as frações dividindo cada percentual pela soma total 100{,}19\%. Isso garante que as massas componentes somem exatamente 100\\ \text{kg}.
  • Seja S= soma dos percentuais dados =100{,}19\%. A massa de cada componente é: m_i = \frac{\%_i}{S}\times100\\ \text{kg}.Calculando (arredondando a 4 alg. significativos onde conveniente):
    • Água: m_{\text{água,ini}}=\frac{89{,}00}{100{,}19}\times100\\ \text{kg}\approx88{,}821\\ \text{kg}.á
    • Proteínas: m_{\text{prot}}=\frac{0{,}59}{100{,}19}\times100\\ \text{kg}\approx0{,}5887\\ \text{kg}.
    • Gordura: m_{\text{gord}}=\frac{0{,}14}{100{,}19}\times100\\ \text{kg}\approx0{,}1397\\ \text{kg}.
    • Carboidratos: m_{\text{carb}}=\frac{9{,}85}{100{,}19}\times100\\ \text{kg}\approx9{,}8366\\ \text{kg}.
    • Fibras: m_{\text{fib}}=\frac{0{,}20}{100{,}19}\times100\\ \text{kg}\approx0{,}1996\\ \text{kg}.
    • Cinzas: m_{\text{cinz}}=\frac{0{,}41}{100{,}19}\times100\\ \text{kg}\approx0{,}4097\\ \text{kg}.
  • Verificação (soma): 88{,}821+0{,}5887+0{,}1397+9{,}8366+0{,}1996+0{,}4097\approx100\\ \text{kg}. OK.

Passo 3

Balanceamento de massa para encontrar a massa de água a evaporar.
  • Os sólidos não se perdem na evaporação; portanto a massa de sólidos inicial é igual à massa de sólidos final: m_{\text{sólidos}}=m_{\text{prot}}+m_{\text{gord}}+m_{\text{carb}}+m_{\text{fib}}+m_{\text{cinz}}.óCalculando: m_{\text{sólidos}}\approx0{,}5887+0{,}1397+9{,}8366+0{,}1996+0{,}4097\approx11{,}1743\\ \text{kg}.ó
  • Quer-se 50% (em massa) de sólidos no produto final; então a massa total final m_{\text{total,fin}} satisfaz: \frac{m_{\text{sólidos}}}{m_{\text{total,fin}}}=0{,}50 \quad\Rightarrow\quad m_{\text{total,fin}}=\frac{m_{\text{sólidos}}}{0{,}50}=2\cdot m_{\text{sólidos}}.óóó
m_{\text{total,fin}}\approx2\times11{,}1743\\ \text{kg}\approx22{,}3486\\ \text{kg}.
  • Logo a massa de água final: m_{\text{água,fin}}=m_{\text{total,fin}}-m_{\text{sólidos}} \approx22{,}3486-11{,}1743=11{,}1743\\ \text{kg}.áó
  • Massa de água evaporada: m_{\text{evap}}=m_{\text{água,ini}}-m_{\text{água,fin}} \approx88{,}821-11{,}1743\approx77{,}6464\\ \text{kg}.áá
Comentário didático curto: isto é só contabilidade de massa — os sólidos ficam no concentrado e para chegar a 50% de sólidos é preciso remover água até que a massa de água final iguale a massa de sólidos.

Passo 4

Definir temperaturas e propriedades (suposições justificadas) e como será calculada a energia.
  • Suposições adotadas (por ausência de dados no enunciado):
    • Temperatura inicial do suco T_1=25^\circ\mathrm{C} (temperatura ambiente típica).
    • Temperatura de evaporação/ebulição à pressão atmosférica T_2=100^\circ\mathrm{C}.
    • Calor latente de vaporização da água à 100^\circ\mathrm{C}: h_{fg}=2257\\ \text{kJ/kg}.
    • Calor específico da água líquido aproximado como constante \displaystyle c_{p,\text{água}}\approx4{,}18\\ \text{kJ/(kg·K)}á (valor padrão).
    • Negligencia-se a energia associada ao aquecimento do vapor ou super-aquecimento, e perdas térmicas externas.
  • A energia total necessária Q_{\text{tot}} será a soma de:
    1. Calor sensível para aquecer toda a massa do suco (água + sólidos) de T_1 até T_2.
    2. Calor latente para vaporizar a massa de água evaporada m_{\text{evap}}.
    3. Energia mecânica fornecida pelo agitador (contribuição ao balanço energético).
  • Fórmula geral: Q_{\text{tot}} = Q_{\text{sensible}} + Q_{\text{latente}} + E_{\text{agitador}}.Onde: Q_{\text{sensible}} = m_{\text{água,ini}}\,c_{p,\text{água}}(T_2-T_1) +\sum_{\text{cada sólido}} m_i\int_{T_1}^{T_2} c_{p,i}(T)\,dT.ááóE Q_{\text{latente}} = m_{\text{evap}}\cdot h_{fg}.E energia do agitador: E_{\text{agitador}} = P\cdot t = 2\\ \text{kW}\times2\\ \text{h} = 4\\ \text{kWh}=4\times3600\\ \text{kJ}=14400\\ \text{kJ}.

Passo 5

Cálculo do calor sensível da água (explicação e conta).
  • O calor sensível necessário para elevar a água líquida de T_1 a T_2 (com c_{p,\text{água}}á aproximadamente constante) é: Q_{\text{s,água}} = m_{\text{água,ini}}\,c_{p,\text{água}}(T_2-T_1).áááSubstituindo: Q_{\text{s,água}} \approx 88{,}821\\ \text{kg}\times4{,}18\\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg·K}}\times(100-25)\\ \text{K}.á
Q_{\text{s,água}} \approx88{,}821\times4{,}18\times75\\ \text{kJ}.á
Calculando:
Q_{\text{s,água}}\approx27845{,}9\\ \text{kJ}\\ (\text{aprox.}).á
Pequena explicação: multiplicamos massa × calor específico × variação de temperatura; calor específico da água é alto, por isso domina a contribuição sensível.

Passo 6

Cálculo do calor sensível dos sólidos (integração das fórmulas de \mathrm{C_P}(T)) — explicação do método.
  • Cada equação de \mathrm{C_P}(T) é da forma c_{p}(T)=a+bT+cT^{2},com a,b,c constantes (valores dados). Para obter a variação de entalpia por kg ao aquecer de T_1 a T_2 integra-se: \Delta h = \int_{T_1}^{T_2} c_{p}(T)\,dT = a(T_2-T_1) + \frac{b}{2}(T_2^{2}-T_1^{2}) + \frac{c}{3}(T_2^{3}-T_1^{3}).Isto dá \Delta h em kJ/kg porque c_p está em kJ/(kg·K) e T em °C (diferença de temperatura em K é a mesma em °C).
  • Para cada componente sólido, calculamos \Delta h_i e depois multiplicamos pela sua massa m_i para obter Q_{s,i}=m_i\Delta h_i.
Agora aplicamos para cada componente (integrais calculadas numericamente entre T_1=25^\circC e T_2=100^\circC). Usando os valores das constantes das fórmulas:
  • Para as contas, primeiro calcular: \Delta T = T_2-T_1=75\\ \text{K}, \quad T_2^{2}-T_1^{2}=100^{2}-25^{2}=10000-625=9375,
T_2^{3}-T_1^{3}=100^{3}-25^{3}=1\,000\,000-15\,625=984\,375.
Cálculos por componente (apresentando apenas valores finais de \Delta h e Q_{s,i}):
  • Proteínas ( a=2{,}0082,\\ b=1{,}2089\cdot10^{-3},\\ c=-1{,}3129\cdot10^{-6}):
    \Delta h_{\text{prot}}\approx155{,}851\\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}, \quad Q_{\text{prot}}=m_{\text{prot}}\Delta h_{\text{prot}}\approx0{,}5887\times155{,}851\approx91{,}75\\ \text{kJ}.
  • Gordura ( a=1{,}9842,\\ b=1{,}4733\cdot10^{-3},\\ c=-4{,}8008\cdot10^{-6}):
    \Delta h_{\text{gord}}\approx154{,}146\\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}, \quad Q_{\text{gord}} \approx0{,}1397\times154{,}146\approx21{,}53\\ \text{kJ}.
  • Carboidratos ( a=1{,}5488,\\ b=1{,}9625\cdot10^{-3},\\ c=-5{,}9399\cdot10^{-6}):
    \Delta h_{\text{carb}}\approx123{,}410\\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}, \quad Q_{\text{carb}}\approx9{,}8366\times123{,}410\approx1\,213{,}88\\ \text{kJ}.
  • Fibras ( a=1{,}8459,\\ b=1{,}8306\cdot10^{-3},\\ c=-4{,}6509\cdot10^{-6}):
    \Delta h_{\text{fib}}\approx145{,}497\\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}, \quad Q_{\text{fib}}\approx0{,}1996\times145{,}497\approx29{,}04\\ \text{kJ}.
  • Cinzas ( a=1{,}0926,\\ b=1{,}8896\cdot10^{-3},\\ c=-3{,}6817\cdot10^{-6}):
    \Delta h_{\text{cinz}}\approx89{,}594\\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}, \quad Q_{\text{cinz}}\approx0{,}4097\times89{,}594\approx36{,}71\\ \text{kJ}.
  • Somando as contribuições sensíveis dos sólidos:
    Q_{\text{s,sólidos}} \approx91{,}75+21{,}53+1\,213{,}88+29{,}04+36{,}71\approx1\,392{,}91\\ \text{kJ}.ó

Passo 7

Somar o calor sensível total e calcular o calor latente.
  • Calor sensível total: Q_{\text{sensible}} = Q_{\text{s,água}} + Q_{\text{s,sólidos}} \approx27\,845{,}9 + 1\,392{,}9 \approx29\,238{,}8\\ \text{kJ}.áó
  • Calor latente para vaporizar m_{\text{evap}}: Q_{\text{latente}} = m_{\text{evap}}\cdot h_{fg} \approx77{,}6464\\ \text{kg}\times2257\\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}} \approx175\,247{,}9\\ \text{kJ}.
Explicação didática curta: o calor latente é muito maior que o calor sensível porque transformar líquido em vapor exige muita energia por kg.

Passo 8

Somar todas as contribuições e incluir a energia do agitador.
  • Energia mecânica do agitador (convertendo kW·h para kJ): E_{\text{agitador}}=2\\ \text{kW}\times2\\ \text{h}=4\\ \text{kWh}=4\times3600\\ \text{kJ}=14\,400\\ \text{kJ}.
  • Energia total requerida: Q_{\text{tot}} = Q_{\text{sensible}} + Q_{\text{latente}} + E_{\text{agitador}}
Q_{\text{tot}} \approx29\,238{,}8 + 175\,247{,}9 + 14\,400 \approx218\,886{,}7\\ \text{kJ}.
  • Em unidades práticas (kWh), para conveniência: Q_{\text{tot}} \approx\frac{218\,886{,}7}{3600}\\ \text{kWh}\approx60{,}80\\ \text{kWh}.
Comentário final e incentivo: vimos que, ao concentrar suco, a maior parcela da energia é a vaporização da água. A técnica das contas foi: balanço de massa para achar quanto de água precisa sair, depois somar o calor sensível (aquecimento de tudo até a temperatura de ebulição) e o calor latente (vaporização), incluindo a energia do agitador. Se na prova pedirem com outras temperaturas ou incluir perdas, o procedimento é o mesmo — só mudam os números. Vai dar tudo certo!

Resposta

Q_{\text{tot}}\approx218\,887\\ \text{kJ}\\ (\approx60{,}80\\ \text{kWh})

Exercícios relacionados