Suco de laranja concentrado é produzido através da evaporação de água. Partindo de 100 litros de um suco integral deseja-se obter um suco com 50% de sólidos, em massa. A concentração é feita em um evaporador de 1000 litros com pressão controlada, que conta com um agitador de pás, que funciona com potência de 2 kW durante 2 horas. Calcule o calor necessário para a evaporação, considerando:
o processo ocorre à pressão atmosférica.
Dados:
O suco de laranja integral tem a seguinte composição, em massa: 89% de água, 0,59% de proteína, 0,14% de gordura, 9,85% de carboidratos, 0,20% de fibras e 0,41% de cinzas.
Os calores específicos dos sólidos podem ser calculados pelas seguintes equações:
Proteínas:
Gordura:
Carboidratos:
Fibras:
Cinzas:
Onde:
calor específico (kJ/(kg.K))
o processo ocorre à pressão atmosférica.
O suco de laranja integral tem a seguinte composição, em massa: 89% de água, 0,59% de proteína, 0,14% de gordura, 9,85% de carboidratos, 0,20% de fibras e 0,41% de cinzas.
Proteínas:
Gordura:
Carboidratos:
Fibras:
Cinzas:
Onde:
Passo 1
O que o problema pede e quais dados foram fornecidos.
- Pedido: calcular o calor necessário para evaporar água ao concentrar 100 litros de suco integral até obter um suco com 50% (em massa) de sólidos. Deve-se considerar também a energia fornecida pelo agitador (2 kW durante 2 h).
- Dados fornecidos:
- Volume inicial do suco:
litros. - Objetivo: suco final com
de sólidos em massa. - Evaporação em pressão atmosférica.
- Agitador: potência
, tempo . - Composição do suco (em massa, como percentuais):
- Água:
- Proteínas:
- Gordura:
- Carboidratos:
- Fibras:
- Cinzas:
- Água:
- Equações fornecidas para o calor específico
(kJ/(kg·K)) dos sólidos, em função da temperatura (graus Celsius): - Proteínas:
- Gordura:
- Carboidratos:
- Fibras:
- Cinzas:
- Proteínas:
- Volume inicial do suco:
Observações iniciais importantes (serão usadas na resolução):
- O enunciado não dá temperatura inicial do suco nem a temperatura de ebulição do processo; portanto será necessário assumir valores razoáveis padrão para fazer as contas. Essas suposições e a justificativa aparecerão no Passo 2.
- O enunciado também não fornece densidade do suco; por simplicidade e por ser prática comum, será usada a aproximação
(logo L kg). - O problema não fornece o calor latente; usaremos o calor latente de vaporização da água à pressão atmosférica (ebulição próxima a
): . - A resolução vai assumir que os sólidos são não voláteis (são retidos no concentrado), e que não há perdas térmicas externas (processo idealizado).
Passo 2
Transformar dados percentuais em massas iniciais e normalizar (pequena inconsistência nas porcentagens) — definição das hipóteses numéricas.
- Converter volume inicial em massa, supondo
: - Os percentuais dados somam ligeiramente mais que
(soma = ). Para evitar pequeno erro de soma, normaliza-se as frações dividindo cada percentual pela soma total . Isso garante que as massas componentes somem exatamente . - Seja
soma dos percentuais dados . A massa de cada componente é: Calculando (arredondando a 4 alg. significativos onde conveniente): - Água:
- Proteínas:
- Gordura:
- Carboidratos:
- Fibras:
- Cinzas:
- Água:
- Verificação (soma):
. OK.
Passo 3
Balanceamento de massa para encontrar a massa de água a evaporar.
- Os sólidos não se perdem na evaporação; portanto a massa de sólidos inicial é igual à massa de sólidos final:
Calculando: - Quer-se 50% (em massa) de sólidos no produto final; então a massa total final
satisfaz:
- Logo a massa de água final:
- Massa de água evaporada:
Comentário didático curto: isto é só contabilidade de massa — os sólidos ficam no concentrado e para chegar a 50% de sólidos é preciso remover água até que a massa de água final iguale a massa de sólidos.
Passo 4
Definir temperaturas e propriedades (suposições justificadas) e como será calculada a energia.
- Suposições adotadas (por ausência de dados no enunciado):
- Temperatura inicial do suco
(temperatura ambiente típica). - Temperatura de evaporação/ebulição à pressão atmosférica
. - Calor latente de vaporização da água à
: . - Calor específico da água líquido aproximado como constante
(valor padrão). - Negligencia-se a energia associada ao aquecimento do vapor ou super-aquecimento, e perdas térmicas externas.
- Temperatura inicial do suco
- A energia total necessária
será a soma de: - Calor sensível para aquecer toda a massa do suco (água + sólidos) de
até . - Calor latente para vaporizar a massa de água evaporada
. - Energia mecânica fornecida pelo agitador (contribuição ao balanço energético).
- Calor sensível para aquecer toda a massa do suco (água + sólidos) de
- Fórmula geral:
Onde: E E energia do agitador:
Passo 5
Cálculo do calor sensível da água (explicação e conta).
- O calor sensível necessário para elevar a água líquida de
a (com aproximadamente constante) é: Substituindo:
Calculando:
Pequena explicação: multiplicamos massa × calor específico × variação de temperatura; calor específico da água é alto, por isso domina a contribuição sensível.
Passo 6
Cálculo do calor sensível dos sólidos (integração das fórmulas de
) — explicação do método.
- Cada equação de
é da forma com constantes (valores dados). Para obter a variação de entalpia por kg ao aquecer de a integra-se: Isto dá em kJ/kg porque está em kJ/(kg·K) e em °C (diferença de temperatura em K é a mesma em °C). - Para cada componente sólido, calculamos
e depois multiplicamos pela sua massa para obter .
Agora aplicamos para cada componente (integrais calculadas numericamente entre
C e
C). Usando os valores das constantes das fórmulas:
- Para as contas, primeiro calcular:
Cálculos por componente (apresentando apenas valores finais de
e
):
-
Proteínas (
): -
Gordura (
): -
Carboidratos (
): -
Fibras (
): -
Cinzas (
): -
Somando as contribuições sensíveis dos sólidos:
Passo 7
Somar o calor sensível total e calcular o calor latente.
- Calor sensível total:
- Calor latente para vaporizar
:
Explicação didática curta: o calor latente é muito maior que o calor sensível porque transformar líquido em vapor exige muita energia por kg.
Passo 8
Somar todas as contribuições e incluir a energia do agitador.
- Energia mecânica do agitador (convertendo kW·h para kJ):
- Energia total requerida:
- Em unidades práticas (kWh), para conveniência:
Comentário final e incentivo: vimos que, ao concentrar suco, a maior parcela da energia é a vaporização da água. A técnica das contas foi: balanço de massa para achar quanto de água precisa sair, depois somar o calor sensível (aquecimento de tudo até a temperatura de ebulição) e o calor latente (vaporização), incluindo a energia do agitador. Se na prova pedirem com outras temperaturas ou incluir perdas, o procedimento é o mesmo — só mudam os números. Vai dar tudo certo!