Na junção PN polarizada reversamente:
a) Desenhe um gráfico da concentração de portadores minoritários.
b) Explique qual o comportamento da junção PN que resulta no gráfico do item A.
c) Onde estão localizados os portadores majoritários? Por que eles ficam nesse local?
d) Qual é o valor aproximado da concentração de portadores minoritários na linha de junção entre o semicondutor tipo p e o tipo n? E da concentração de majoritários?
e) Defina zona de depleção.
f) Por que existe a corrente de fuga em diodos?

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre uma junção PN polarizada em reverso. Vou listar exatamente o que é solicitado e quais informações temos implicitamente:
  • Perguntas:
    a) Desenhar um gráfico da concentração de portadores minoritários (ou seja, a concentração dos elétrons no lado p e das lacunas no lado n) ao longo da posição que atravessa a junção PN.
    b) Explicar qual comportamento físico da junção resulta no gráfico do item (a).
    c) Dizer onde estão localizados os portadores majoritários e por quê (ou seja, por que os elétrons/holes ficam onde ficam).
    d) Estimar o valor aproximado da concentração de portadores minoritários na linha de junção entre o semicondutor tipo p e tipo n. E qual a concentração de majoritários na mesma linha.
    e) Definir a zona de depleção (o que é essa região).
    f) Explicar por que existe corrente de fuga (corrente de fuga/bleeding/leakage) em diodos quando polarizados em reverso.
  • Informações implícitas que vamos usar:
    • A junção está polarizada em reverso (tensão aplicada V<0 segundo a convenção usual: V=V_{p}-V_{n}, p positivo é tensão de anodo; em reverso a barreira aumenta).
    • Conceitos padrão de semicondutores: dopagem por aceitadores N_A no lado p, doadores N_D no lado n, concentração intrínseca n_i, lei da massa de ação np=n_i^2.
    • Não foi dada uma geometria ou valores numéricos específicos, então vou usar fórmulas gerais e um exemplo numérico típico para ilustrar ordens de grandeza.
A partir daqui eu começo a resolver e a ensinar passo a passo.

Passo 2

Conceitos básicos e fórmulas que vamos precisar (aula rápida antes de calcular/desenhar):
  • O que são portadores majoritários e minoritários:
    • Em um semicondutor do tipo p: os portadores majoritários são lacunas (holes) e sua concentração aproximada em região neutra é p \approx N_A. Os portadores minoritários são elétrons com concentração de equilíbrio n_{p0}.
    • Em um semicondutor do tipo n: os portadores majoritários são elétrons com n \approx N_D. As lacunas são minoritárias com concentração p_{n0}.
  • Lei da massa de ação (muito importante):
    n p = n_i^2,
    onde n é concentração de elétrons, p é concentração de lacunas e n_i é a concentração intrínseca do semicondutor (para silício a T\approx300\\ \text{K}, n_i\approx 1{,}5\times 10^{10}\\ \text{cm}^{-3} — só para referência).
  • Fórmulas das concentrações minoritárias em equilíbrio (região neutra, sem viés):
    n_{p0}=\frac{n_i^2}{N_A}\quad\text{(elétrons no lado \(p\))},é
p_{n0}=\frac{n_i^2}{N_D}\quad\text{(lacunas no lado \(n\))}.
Estas fórmulas vêm diretamente da lei da massa de ação e do fato de que, em equilíbrio, o maior dos dois é aproximadamente o nível de dopagem.
  • Efeito de uma tensão aplicada V na fronteira da região neutra com a zona de depleção:
    • A condição de contorno para a concentração minoritária no bordo da região deplecionada (lado p, por exemplo) é
    n_p(0)=n_{p0}\,e^{qV/(kT)},
    onde q é a carga elementar, k a constante de Boltzmann e T a temperatura. Para polarização reversa V<0, o fator exponencial é menor que 1, então a concentração minoritária no bordo da depleção diminui em relação ao valor de equilíbrio n_{p0}.
    • A dependência espacial dentro da região neutra próxima à junção é tipicamente exponencial com a “difusão” caracterizada pelo comprimento de difusão L:
    \text{por exemplo, } n_p(x)=n_{p0} + [n_p(0)-n_{p0}]e^{-x/L_n},
    onde x é a distância medida a partir da borda da depleção para dentro do lado p, e L_n=\sqrt{D_n \tau_n} (difusividade D_n e tempo de vida \tau_n).
  • Zona de depleção: região ao redor da junção onde portadores móveis foram removidos, sobrando apenas íons fixos carregados (aceitadores ionizados negativos de um lado e doadores ionizados positivos do outro).
Agora com esses conceitos eu posso desenhar e explicar.

Passo 3

Desenho/descrição qualitativa do gráfico pedido em (a) — concentração de portadores minoritários vs posição (posição atravessando p \to junção \to n) para polarização reversa:
  • Eixo horizontal: posição x, com x<0 no lado p, x=0 na linha de junção/centro da zona de depleção e x>0 no lado n.
  • Eixo vertical: concentração dos portadores minoritários. No lado p os minoritários são elétrons n_p(x). No lado n os minoritários são lacunas p_n(x). No mesmo gráfico eu desenho duas curvas (uma para n_p(x) à esquerda e outra para p_n(x) à direita).
Forma das curvas (texto que descreve o desenho que você faria):
  • Para x bem negativo (longe da junção, no bulk do p): n_p(x) é constante e igual a n_{p0}=\dfrac{n_i^2}{N_A} (linha horizontal baixa).
  • Aproximando-se da borda da depleção (do lado p), n_p decai levemente para um valor menor n_p(0)=n_{p0}e^{qV/(kT)} (para V<0 é menor que n_{p0}). Próximo à depleção pode haver um rápido ajuste (escala de L_n).
  • Dentro da zona de depleção (em torno de x=0) a concentração de portadores livres é quase zero — no desenho aparece uma queda acentuada, chegando a valores desprezíveis.
  • Do lado n: espelho — longe da junção p_n(x)=p_{n0}=\dfrac{n_i^2}{N_D} (linha horizontal baixa), e próximo da depleção p_n também diminui para p_n(0)=p_{n0}e^{qV/(kT)}. Dentro da depleção as lacunas livres são praticamente nulas.
Observações importantes para o desenho:
  • As linhas horizontais nos bulks (valores de equilíbrio) ficam muito abaixo das concentrações de dopagem (porque n_{p0}\ll N_A e p_{n0}\ll N_D).
  • Em polarização reversa a borda da depleção “puxa” a concentração minoritária para valores menores comparando com o equilíbrio.
  • Também se pode desenhar pequenas “caudas” exponenciais a partir da borda da depleção para o interior do bulk, com comprimento de decaimento L_n no lado p e L_p no lado n.

Passo 4

Explicação física do comportamento (resposta a b):
  • Em equilíbrio, difusão faz elétrons do lado n virem para p e lacunas do p para n. Esse movimento deixa íons fixos (doadores positivos e aceitadores negativos) formando um campo elétrico e uma barreira de potencial V_{bi} — daí surge a zona de depleção, sem portadores móveis.
  • Ao aplicar polarização reversa (tensão que aumenta a barreira), a diferença de potencial entre os lados aumenta; o campo elétrico na depleção aumenta e a largura da depleção aumenta. Consequência:
    • Menos portadores minoritários conseguem ser “injetados” através da barreira para o outro lado — matematicamente isso aparece no fator e^{qV/(kT)} com V<0, que reduz a concentração na borda da região neutra.
    • Portadores que existem dentro da depleção são rapidamente afastados/puxados pelo campo, portanto dentro da depleção a concentração de portadores livres cai muito (quase zero).
  • Assim, o gráfico do passo anterior (pequenas concentrações constantes nos bulks, quedas próximas à depleção e quase zero dentro dela) resulta diretamente do aumento da barreira e do campo elétrico que remove portadores móveis da região da junção.

Passo 5

Onde estão localizados os portadores majoritários e por que (resposta a c), com explicação didática:
  • Localização:
    • No semicondutor tipo p: os majoritários (lacunas) estão principalmente no bulk do lado p (em regiões não depletadas). Sua concentração aproximada é p\approx N_A.
    • No semicondutor tipo n: os majoritários (elétrons) estão principalmente no bulk do lado n. Sua concentração aproximada é n\approx N_D.
  • Por que ficam aí:
    • A dopagem fornece esses portadores: aceitadores produzem lacunas no lado p, doadores produzem elétrons no lado n. Esses portadores ocupam o material onde os dopantes estão.
    • A barreira de potencial e o campo elétrico na zona de depleção impedem que a maior parte dos majoritários atravesse para o outro lado (só uma pequena corrente de difusão de minoritários contribui). Além disso, dentro da depleção os portadores móveis recombinaram e foram retirados, sobrando só íons fixos; por isso majoritários não estão na depleção.
    • Em resumo: eles ficam onde os dopantes estão e são mantidos lá pela combinação de equilíbrio entre difusão e campo elétrico (equilíbrio entre forças de difusão e força elétrica).

Passo 6

Valores aproximados das concentrações na linha de junção (resposta a d) — explicação e exemplo numérico para ter noção de ordem de grandeza:
  • Observação sobre “linha de junção”: se interpretarmos “linha de junção” como o interior da zona de depleção (o ponto x=0), tanto os portadores majoritários quanto os minoritários livres são praticamente zero ali — a depleção foi esvaziada de portadores móveis. Se, porém, quisermos os valores logo nas bordas da depleção (na interface entre região neutra e depleção), então usamos as fórmulas de fronteira com/sem viés.
  • Em termos gerais:
    • Concentração de majoritários nas regiões neutras: aproximadamente N_A (lado p) e N_D (lado n).
    • Concentração de minoritários em equilíbrio (valores típicos no bulk): n_{p0}=\frac{n_i^2}{N_A},\qquad p_{n0}=\frac{n_i^2}{N_D}.
    • Concentração minoritária na borda da depleção com tensão V: n_p(0)=n_{p0}\,e^{qV/(kT)},\qquad p_n(0)=p_{n0}\,e^{qV/(kT)}.Para polarização reversa V<0 essas concentrações ficam menores que n_{p0} e p_{n0}.
  • Exemplo numérico (ordem de grandeza, material: silício, T\approx300\\ \text{K}, n_i\approx 1{,}5\times10^{10}\\ \text{cm}^{-3}):
    • Suponha dopagens moderadas N_A=N_D=10^{16}\\ \text{cm}^{-3}.
    • Então n_{p0}=\frac{(1{,}5\times10^{10})^2}{10^{16}}=\frac{2{,}25\times10^{20}}{10^{16}}=2{,}25\times10^{4}\\ \text{cm}^{-3}.
p_{n0}=2{,}25\times10^{4}\\ \text{cm}^{-3}.
Ou seja: minoritários típicos \(\sim10^{4}\\ \text{cm}^{-3}\) enquanto majoritários \(N_{A},N_{D}\sim10^{16}\\ \text{cm}^{-3}\). Grande diferença!
  • Na borda da depleção com uma pequena polarização reversa, e^{qV/(kT)} é menor que 1 e esses 10^{4} podem cair ainda mais.
  • Dentro da própria zona de depleção, tanto minoritários quanto majoritários livres têm concentrações praticamente nulas (valores muito próximos de 0 no sentido prático).
  • Conclusão curta (prática):
    • Na linha de junção (dentro da depleção): minoritários \approx 0, majoritários \approx 0.
    • Nas regiões neutras adjacentes: minoritários típicos \sim n_i^2/N (por exemplo 10^{3} 10^{6}\\ \text{cm}^{-3} dependendo da dopagem) e majoritários \approx N_A ou N_D (tipicamente 10^{15} 10^{18}\\ \text{cm}^{-3}).

Passo 7

Definição formal e detalhes da zona de depleção (resposta a e):
  • Definição:
    • A zona de depleção (ou região de depleção) é a região em torno da junção PN onde os portadores de carga livres (elétrons e lacunas) foram praticamente removidos devido à difusão inicial e recombinação; o resultado são íons carregados fixos (doadores ionizados positivos no lado n e aceitadores ionizados negativos no lado p) que criam um campo elétrico interno e uma barreira de potencial.
  • Propriedades importantes:
    • Não contém praticamente portadores móveis: por isso é “depletada” (esvaziada).
    • O campo elétrico nessa zona impede a livre passagem de portadores majoritários e direciona minoritários gerados termicamente.
    • A largura da zona de depleção W depende da dopagem dos dois lados e da tensão aplicada. Para uma junção abrupta, a expressão típica (resultado de balanço de cargas e Poisson) é: W=\sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q}\cdot\frac{N_A+N_D}{N_A N_D}\left(V_{bi}-V\right)},onde \varepsilon_s é a permissividade do semicondutor, q é a carga do elétron, V_{bi} a tensão de built-in (potencial de barreira em equilíbrio) e V a tensão aplicada (para polarização reversa V<0, V_{bi}-V aumenta e W aumenta).
  • Intuição: pense na zona de depleção como uma “barreira seca” sem água (portadores) — só sobrou o leito (íons dopantes) que cria o campo.

Passo 8

Por que existe corrente de fuga em diodos (resposta a f) — explicação detalhada e fórmula:
  • Mesmo em polarização reversa, há uma pequena corrente porque não existe um “vácuo perfeito” de portadores; processos térmicos continuamente geram pares elétron-lacuna e também existem minoritários que podem difundir e ser coletados. Principais mecanismos de corrente de fuga (leakage):
    1. Corrente de difusão de minoritários (saturação): portadores minoritários longe da junção difundem até a região de depleção e são rapidamente varridos pelo campo elétrico para o outro lado. Isso gera a corrente de saturação I_S que é praticamente independente da tensão reversa (até certo ponto). Uma expressão aproximada (caso de junção de área A) é: I_S \approx qA n_i^2\left(\frac{D_p}{L_p N_D} + \frac{D_n}{L_n N_A}\right),onde D_p,D_n são difusividades, L_p,L_n comprimentos de difusão, e N_D,N_A as dopagens. Esse I_S é muito pequeno se n_i for pequeno (ex.: silício) e se as dopagens forem moderadas.
    2. Geração no interior da zona de depleção (mecanismo Shockley-Read-Hall): defeitos/armadilhas geram pares elétron-lacuna dentro da depleção; o campo elétrico separa esses pares, gerando corrente; esta corrente cresce com a largura da depleção (ou seja, aumenta com polarização reversa).
    3. Correntes de superfície e fugas por contaminação: caminhos na superfície do dispositivo podem conduzir corrente maior que a ideal.
    4. Tunelamento (tunneling) ou avalanche: em junções muito fortemente dopadas ou em tensões reversas elevadas, os elétrons podem tunelar através da barreira ou ocorrer multiplicação por avalanche — isso aumenta muito a corrente e pode levar à ruptura.
  • Resumo físico simples:
    • Mesmo em reverso há geração térmica de portadores e alguns minoritários chegam à junção: o campo elétrico os “varre” e assim aparece uma pequena corrente (a corrente de fuga). Ela é inevitável enquanto houver temperatura e defeitos.

Passo 9

Dicas práticas para a prova (curto e direto):
  • Para desenhar: mostre claramente o bulk do p e do n com linhas horizontais baixas (valores n_{p0} e p_{n0}), uma queda na borda da depleção e quase zero dentro da depleção. Indique no gráfico que n_{p0}=n_i^2/N_A e p_{n0}=n_i^2/N_D.
  • Para explicar: cite a lei da massa de ação, a fórmula de n_p(0)=n_{p0}e^{qV/(kT)} para justificar diminuição sob reverso, e diga que maior parte dos charges fixos na depleção é responsável pelo campo que varre os portadores.
  • Se a pergunta pedir números, use a estimativa com n_i e N como no exemplo do passo 6 para mostrar ordens de grandeza rápidas.

Resposta

a) Gráfico: curvas de baixa concentração nos bulks ( n_{p0}=\dfrac{n_i^2}{N_A} à esquerda e p_{n0}=\dfrac{n_i^2}{N_D} à direita), queda na borda da depleção ( n_p(0)=n_{p0}e^{qV/(kT)}, p_n(0)=p_{n0}e^{qV/(kT)} com V<0) e concentração praticamente nula dentro da zona de depleção.
b) Porque a polarização reversa aumenta a barreira e o campo na depleção, alarga a zona de depleção e reduz a injeção de minoritários (fator e^{qV/(kT)} com V<0), de modo que perto da junção há muito poucos portadores livres.
c) Os portadores majoritários estão nas regiões neutras longe da depleção: lacunas no lado p ( p\approx N_A) e elétrons no lado n ( n\approx N_D); eles ficam aí porque a dopagem os fornece e o campo da depleção impede que a maioria atravesse a barreira.
d) Na linha da junção (dentro da depleção): concentração de minoritários \approx 0 e de majoritários \approx 0. Nas bordas da depleção (região neutra adjacente): minoritários típicos n_{p0}=\dfrac{n_i^2}{N_A}, p_{n0}=\dfrac{n_i^2}{N_D} (por exemplo, para N_A=N_D=10^{16}\\ \text{cm}^{-3} tem-se n_{p0}\approx p_{n0}\approx 2{,}25\times10^{4}\\ \text{cm}^{-3}) e majoritários \approx N_A ou \approx N_D (tipicamente 10^{15} 10^{18}\\ \text{cm}^{-3}).
e) Zona de depleção: região ao redor da junção onde os portadores móveis foram removidos, sobrando íons dopantes fixos que geram campo elétrico; sua largura W aumenta com polarização reversa e é dada por \displaystyle W=\sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q}\frac{N_A+N_D}{N_A N_D}(V_{bi}-V)}.
f) Porque há geração térmica contínua de pares elétron-lacuna e minoritários que são varridos pelo campo na depleção (além de geração por defeitos, fugas na superfície, tunelamento ou avalanche em casos extremos); essa coleta de portadores gera a pequena corrente de fuga (corrente de saturação I_S), aproximadamente \displaystyle I_S\approx qA n_i^2\!\left(\frac{D_p}{L_p N_D}+\frac{D_n}{L_n N_A}\right).

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