Uma junta de termopar com diâmetro d=0,70 \mathrm{~mm} pode ser aproximada por uma esfera e é usada para medir a temperatura de uma corrente gasosa. O coeficiente convectivo entre a superfície da junta e o gás é igual a h=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. K e as propriedades da junta são \mathrm{k}=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, \mathrm{cp}=400 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} \mathrm{e} \rho=8500 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Se a junta está a 25 \mathrm{C}^{\circ} e encontra-se posicionada em uma corrente de gás a 200 \mathrm{C}^{\circ}. Determine:
a) Quanto tempo será necessário para junta alcançar 100 \mathrm{C}^{\circ} ?
b) Quanto tempo será necessário para junta alcançar 199 \mathrm{C}^{\circ} ?
c) Qual a taxa de calor transferida por convecção após 3 segundos?
d) Qual a quantidade máxima de calor transferida para esfera?

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera (junta de termopar) de diâmetro d=0{,}70\\ \mathrm{mm} inicialmente a 25\\ ^\circ\mathrm{C}, imersa em gás a 200\\ ^\circ\mathrm{C}. As propriedades são \displaystyle h=400\\ \mathrm{W/m^2K},\quad k=20\\ \mathrm{W/mK},\quad c_p=400\\ \mathrm{J/kgK},\quad \rho=8500\\ \mathrm{kg/m^3}.
Queremos tempos para atingir certas temperaturas, a taxa de calor a t=3\\ \mathrm{s} e o calor total máximo. Como o número de Biot é pequeno, aplicamos o método de sistema de capacidade concentrada (lumped capacitance).

Passo 2

Calculamos o comprimento característico
L_c = \frac{V}{A} = \frac{d}{6} = \frac{0{,}00070}{6} = 1{,}1667\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
O número de Biot é
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L_c}{k}=\frac{400\times1{,}1667\times10^{-4}}{20}\approx0{,}0047\ll0{,}1,
confirmando a validade do método lumped.

Passo 3

O tempo característico é
\tau = \frac{\rho\,c_p\,V}{h\,A} = \frac{\rho\,c_p\,L_c}{h} = \frac{8500\times400\times1{,}1667\times10^{-4}}{400}\approx0{,}99\\ \mathrm{s}.
A evolução da temperatura segue
T(t) = T_\infty +\bigl(T_i-T_\infty\bigr)e^{-t/\tau}.

Passo 4

Para T=100\\ ^\circ\mathrm{C} resolve-se
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} =\exp\bigl(-t/\tau\bigr) \quad\Longrightarrow\quad t=-\tau\ln\frac{100-200}{25-200}.
Calculando,
t\approx -0{,}99\ln\frac{-100}{-175} =0{,}99\times0{,}5596\approx0{,}56\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Para T=199\\ ^\circ\mathrm{C} temos
t=-\tau\ln\frac{199-200}{25-200} = -0{,}99\ln\frac{-1}{-175} \approx0{,}99\times5{,}161\approx5{,}12\\ \mathrm{s}.

Passo 6

A t=3\\ \mathrm{s} a temperatura da esfera é
T(3)=200 + (25-200)e^{-3/0.99}\approx200-175\times e^{-3{,}03} \approx200-8{,}49=191{,}51\\ ^\circ\mathrm{C}.
A área da esfera vale
A=4\pi\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2 =4\pi(0{,}00035)^2\approx1{,}54\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.
Logo a taxa de calor por convecção é
\dot Q = h\,A\,(T_\infty - T(3)) =400\times1{,}54\times10^{-6}\times8{,}49 \approx5,2\times10^{-3}\\ \mathrm{W}.

Passo 7

O calor máximo transferido, ao aquecer de 25 a 200\\ ^\circ\mathrm{C}, é
Q_{\max} = m\,c_p\,(T_\infty - T_i) =\rho\,V\,c_p\,(200-25).
O volume é
V=\tfrac{4}{3}\pi\bigl(0{,}00035\bigr)^3\approx1{,}80\times10^{-10}\\ \mathrm{m^3},
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m=\rho V\approx8500\times1{,}80\times10^{-10}=1{,}53\times10^{-6}\\ \mathrm{kg},
e
Q_{\max}=1{,}53\times10^{-6}\times400\times175\approx0{,}11\\ \mathrm{J}.

Resposta

a) 0{,}56\\ \mathrm{s}
b) 5{,}12\\ \mathrm{s}
c) \dot Q(3\\ \mathrm{s})\approx5,2\times10^{-3}\\ \mathrm{W}
d) Q_{\max}\approx0,11\\ \mathrm{J}

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