k) O que é uma Transformação de Legendre? Qual a utilidade?
Passo 1
O enunciado pergunta o que é uma Transformação de Legendre e para que serve. Este conteúdo envolve cálculo de funções convexas e troca de variável independente, e a gente vai precisar saber definir rigorosamente a transformada e ver em que problemas ela aparece, especialmente em física (mecânica e termodinâmica).
Passo 2
A Transformação de Legendre de uma função convexa
é outra função
definida trocando a dependência de
para a nova variável
. Mais precisamente, para cada
tal que
existe, definimos
e então
onde
é visto como função de
invertendo
. Esse procedimento “passa” de
para seu “duplo”
, preservando informação sobre a inclinação.
Passo 3
Por que isso funciona e é invertível?
- Se
é estritamente convexa, é estrita e monotônica, de modo que a relação pode ser invertida em . - A expressão
define então uma função convexa em , e aplicar Legendre de novo devolve a original:
Isso mostra que a Legendre é essencialmente uma troca de variável coordenada por sua conjugada (a inclinação).
Passo 4
A utilidade prática aparece sempre que queremos trocar variáveis de controle ou obter uma “função potencial” que dependa de outra variável mais conveniente:
Em termodinâmica, em vez de trabalhar com energia interna (função de entropia
e volume
), aplicamos Legendre em
para obter a entalpia
Em termodinâmica, em vez de trabalhar com energia interna
onde
. Em mecânica clássica, trocamos a Lagrangiana
(função de posição e velocidade) pela Hamiltoniana
onde
. Isso facilita resolver as equações de movimento em coordenadas canônicas e usar toda a teoria de sistemas hamiltonianos.
Resposta
A Transformação de Legendre é um procedimento que, dada uma função convexa
, define a função conjugada
onde
e
é a inversa de
. Sua utilidade está em trocar a variável independente (por exemplo, de
para sua derivada) para obter potenciais mais adequados ao problema, como a Hamiltoniana na mecânica ou entalpia e energias livres na termodinâmica.