k) O que é uma Transformação de Legendre? Qual a utilidade?

Passo 1

O enunciado pergunta o que é uma Transformação de Legendre e para que serve. Este conteúdo envolve cálculo de funções convexas e troca de variável independente, e a gente vai precisar saber definir rigorosamente a transformada e ver em que problemas ela aparece, especialmente em física (mecânica e termodinâmica).

Passo 2

A Transformação de Legendre de uma função convexa f(x) é outra função g(p) definida trocando a dependência de x para a nova variável p=f'(x). Mais precisamente, para cada x tal que f' existe, definimos
p = f'(x),
e então
g(p) = x,p - f(x),
onde x é visto como função de p invertendo p=f'(x). Esse procedimento “passa” de f(x) para seu “duplo” g(p), preservando informação sobre a inclinação.

Passo 3

Por que isso funciona e é invertível?
  • Se f é estritamente convexa, f' é estrita e monotônica, de modo que a relação p=f'(x) pode ser invertida em x=x(p).
  • A expressão g(p)=x(p),p-f(x(p)) define então uma função convexa em p, e aplicar Legendre de novo devolve a original:
tilde f(x) = p(x),x - gl(p(x)r) = f(x)
Isso mostra que a Legendre é essencialmente uma troca de variável coordenada por sua conjugada (a inclinação).

Passo 4

A utilidade prática aparece sempre que queremos trocar variáveis de controle ou obter uma “função potencial” que dependa de outra variável mais conveniente:
Em termodinâmica, em vez de trabalhar com energia interna U(S,V) (função de entropia S e volume V), aplicamos Legendre em V para obter a entalpia
H(S,p) = U(S,V) + p,V,
onde p=partial U/partial V. Em mecânica clássica, trocamos a Lagrangiana L(q,dot q) (função de posição e velocidade) pela Hamiltoniana
H(q,p) = p,dot q - L(q,dot q),
onde p=partial L/partialdot q. Isso facilita resolver as equações de movimento em coordenadas canônicas e usar toda a teoria de sistemas hamiltonianos.

Resposta

A Transformação de Legendre é um procedimento que, dada uma função convexa f(x), define a função conjugada
g(p)=x(p),p - fl(x(p)r),
onde p=f'(x) e x(p) é a inversa de f'. Sua utilidade está em trocar a variável independente (por exemplo, de x para sua derivada) para obter potenciais mais adequados ao problema, como a Hamiltoniana na mecânica ou entalpia e energias livres na termodinâmica.

Exercícios relacionados