Klebsiella aerogenes is produced from glycerol in aerobic culture with ammonia as nitrogen source. The biomass contains 8 \% ash, 0.40 g biomass is produced for each g of glycerol consumed, and no major metabolic products are formed. What is the oxygen requirement for this culture in mass terms?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o quê:
  • Dado: glicerol como substrato, fórmula química conhecida \mathrm{C_3H_8O_3}.
  • Dado: fonte de nitrogênio = amônia \mathrm{NH_3}.
  • Dado: o biocrescimento observado é \,0{,}40\\ \mathrm{g\\ biomass} produzido por \,1{,}00\\ \mathrm{g\\ glicerol} consumido.
  • Dado: a biomassa contém 8\% de cinzas (ash). Ou seja, 92\% da massa de biomassa é matéria orgânica assimilável (CHON).
  • Dado: não se formam produtos metabólicos importantes (além de \mathrm{CO_2}, \mathrm{H_2O} e biomassa).
  • Pedido: determinar a necessidade de oxigénio em termos de massa (ou seja, quantos gramas de \mathrm{O_2} são consumidos).
    (O enunciado não especifica explicitamente se quer por grama de glicerol consumido ou por grama de biomassa formado; eu vou calcular ambos para ficar completo.)
Todos os dados acima vêm do enunciado, exceto a fórmula do glicerol \mathrm{C_3H_8O_3}, que é informação química padrão conhecida.

Passo 2

Escolha do método e fórmula empírica da biomassa (explicação didática e justificativa)
  • Método: montamos uma equação estequiométrica global do tipo
\text{glicerol} + \text{NH}_3 + \mathrm{O_2} \longrightarrow \text{biomassa orgânica} + \mathrm{CO_2} + \mathrm{H_2O}â
e fazemos balanços atômicos (C, H, O, N). Isso é o procedimento padrão para calcular consumo de \mathrm{O_2} em cultivos aeróbios quando não há produtos excretados importantes.
  • Fórmula empírica da fração orgânica da biomassa: para bactérias costuma-se usar uma fórmula empírica aproximada para a matéria orgânica celular. Uma escolha comum e adequada para muitas bactérias é
\text{biomassa (orgânica)} = \mathrm{CH_{1,8}O_{0,5}N_{0,2}},â
que significa: por cada 1 átomo de C há 1,8 de H, 0,5 de O e 0,2 de N. Essa fórmula é amplamente usada em engenharia bioquímica porque fornece boas estimativas estequiométricas. Vou usar essa fórmula (se você usar outra fórmula empírica, o procedimento é o mesmo; o resultado numérico muda um pouco).
  • Observação sobre as cinzas: como a biomassa contém 8\% cinzas, só 92\% da massa de biomassa corresponde à fórmula orgânica acima; essa fração orgânica é a que entra no balanço estequiométrico de CHON.

Passo 3

Escolher uma base prática (facilita contas): trabalho por 1\\ \text{mol} de glicerol
  • Massa molar do glicerol \mathrm{C_3H_8O_3}: \,92\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Pela razão dada, \,0{,}40\\ \mathrm{g\\ biomass} por \,1{,}00\\ \mathrm{g\\ glicerol}. Então, por 1 mol de glicerol (que tem 92\\ \mathrm{g}) formam-se:
92\\ \mathrm{g\\ glicerol}\times 0{,}40 = 36{,}8\\ \mathrm{g\\ biomass\\ (total)}.
  • Dessas 36{,}8\\ \mathrm{g}, 8\% são cinzas. A fração orgânica é 92\%:
\text{biomassa orgânica (CHON)} = 36{,}8\times 0{,}92 = 33{,}856\\ \mathrm{g}.â

Passo 4

Calcular quantas unidades empíricas de \mathrm{CH_{1,8}O_{0,5}N_{0,2}} correspondem a essa massa orgânica
  • Massa molar da unidade empírica \mathrm{CH_{1,8}O_{0,5}N_{0,2}}:
M = 12{,}01 + 1{,}008\times 1{,}8 + 16{,}00\times 0{,}5 + 14{,}01\times 0{,}2.
Faço as contas passo a passo:
12{,}01 + 1{,}008\times 1{,}8 = 12{,}01 + 1{,}8144 = 13{,}8244,
16{,}00\times 0{,}5 = 8{,}00,\qquad 14{,}01\times 0{,}2 = 2{,}802.
Somando:
M = 13{,}8244 + 8{,}00 + 2{,}802 = 24{,}6264\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Moles de unidade empírica sintetizados por 1 mol de glicerol:
d = \frac{33{,}856}{24{,}6264} = 1{,}3745\\ \text{mol (unidades CH}_{1,8}\text{O}_{0,5}\text{N}_{0,2}).
Nota: cada unidade empírica tem exatamente 1 átomo de C (pois fórmula escrita por C1).

Passo 5

Montar a equação estequiométrica geral (em mols, por 1 mol de glicerol)
Escrevemos a reação desconhecida com incógnitas:
\mathrm{C_3H_8O_3} + b\,\mathrm{NH_3} + c\,\mathrm{O_2} \longrightarrow d\,\mathrm{CH_{1,8}O_{0,5}N_{0,2}} + e\,\mathrm{CO_2} + f\,\mathrm{H_2O}
onde d já calculamos: d=1{,}3745 (mol unidades orgânicas por mol glicerol). Vamos determinar b,\\ e,\\ f,\\ c aplicando balanços atômicos.

Passo 6

Balanço de carbono (C)
  • Átomos de C à esquerda: \,3 (da molécula de glicerol).
  • À direita: cada unidade orgânica tem 1 C, e cada \mathrm{CO_2} tem 1 C. Então
3 = d + e \quad\Rightarrow\quad e = 3 - d = 3 - 1{,}3745 = 1{,}6255\\ \text{mol CO}_2.

Passo 7

Balanço de nitrogênio (N)
  • Átomos de N à esquerda: b (cada \mathrm{NH_3} tem 1 N).
  • À direita: cada unidade orgânica tem 0{,}2 N, então N total na biomassa = 0{,}2d.
b = 0{,}2\,d = 0{,}2\times 1{,}3745 = 0{,}2749\\ \text{mol NH}_3.
(Isto nos diz quanta amônia é assimilada por mol de glicerol.)

Passo 8

Balanço de hidrogênio (H)
  • H à esquerda: glicerol tem 8 H; amônia adiciona 3b H. Total à esquerda:
H_{\text{esq}} = 8 + 3b = 8 + 3\times 0{,}2749 = 8 + 0{,}8247 = 8{,}8247\\ \text{átomos H (em molaridades)}.á
  • À direita: biomassa tem 1{,}8d H e água tem 2f H. Assim:
8{,}8247 = 1{,}8d + 2f.
Substituindo d:
8{,}8247 = 1{,}8\times 1{,}3745 + 2f = 2{,}4741 + 2f.
Logo:
2f = 8{,}8247 - 2{,}4741 = 6{,}3506 \quad\Rightarrow\quad f = 3{,}1753\\ \text{mol H}_2\text{O}.

Passo 9

Balanço de oxigênio (O) — aqui determinamos c, o consumo de \mathrm{O_2}
  • O à esquerda: glicerol tem 3 O e \mathrm{O_2} aporta 2c O (por mol de \mathrm{O_2} são 2 átomos O). Total:
O_{\text{esq}} = 3 + 2c.
  • À direita: biomassa tem 0{,}5d O, \mathrm{CO_2} tem 2e O, e água tem f O. Então:
3 + 2c = 0{,}5d + 2e + f.
Substituindo os valores já encontrados d=1{,}3745,\\ e=1{,}6255,\\ f=3{,}1753:
3 + 2c = 0{,}5\times 1{,}3745 + 2\times 1{,}6255 + 3{,}1753.
Calculando o lado direito:
0{,}5\times 1{,}3745 = 0{,}68725,
2\times 1{,}6255 = 3{,}2510,
0{,}68725 + 3{,}2510 + 3{,}1753 = 7{,}11355.
Então:
3 + 2c = 7{,}11355 \quad\Rightarrow\quad 2c = 4{,}11355 \quad\Rightarrow\quad c = 2{,}056775\\ \text{mol O}_2.

Passo 10

Converter o consumo de oxigénio para termos de massa e para as bases solicitadas
  • Massa de \mathrm{O_2} consumida por 1 mol de glicerol:
m_{O_2} = c \times M_{O_2} = 2{,}056775\\ \mathrm{mol}\times 32{,}00\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} = 65{,}8168\\ \mathrm{g\\ O_2}.
  • Essa é a necessidade de \mathrm{O_2} por 1 mol glicerol, isto é, por 92\\ \mathrm{g} de glicerol. Para obter por grama de glicerol:
\frac{65{,}8168}{92} = 0{,}71453\\ \mathrm{g\\ O_2\\ per\\ g\\ glicerol}\\ \approx 0{,}715\\ \mathrm{g\\ O_2/g\\ glicerol}.
  • Para obter por grama de biomassa total formado: lembrando que por 1 mol glicerol formam-se 36{,}8\\ \mathrm{g} de biomassa (massa total, incluindo cinzas), então
\frac{65{,}8168}{36{,}8} = 1{,}7887\\ \mathrm{g\\ O_2\\ per\\ g\\ biomass}\\ \approx 1{,}79\\ \mathrm{g\\ O_2/g\\ biomass}.
(Se alguém quiser a base por grama da fração orgânica da biomassa — sem as cinzas — divide-se por 33{,}856 em vez de 36{,}8.)

Resposta

0{,}715\\ \mathrm{g\\ O_2\\ per\\ g\\ glicerol\\ consumed}
1{,}79\\ \mathrm{g\\ O_2\\ per\\ g\\ biomass\\ produced}

Exercícios relacionados