- Em laboratórios de engenharia, construir capacitores planares muito extensos é impraticável. Um arranjo comum é enrolar as placas paralelas (separadas por papel ou polietileno) na forma de uma espiral cilíndrica. Modelando matematicamente, justifique qual aproximação geométrica permite que a capacitância desse rolo espiral continue a ser calculada pela mesma fórmula do capacitor planar clássico
.
Passo 1
O enunciado dá a fórmula clássica do capacitor de placas paralelas
(onde
é a permissividade do dielétrico,
a área de faces opostas e
a separação). Pede-se justificar por que um rolo espiral (placas enroladas formando uma espiral cilíndrica, separadas por papel ou polietileno) pode ainda ter sua capacitância calculada pela mesma fórmula — ou seja, qual aproximação geométrica torna essa fórmula válida para o rolo.
Informações relevantes que vamos usar:
-
: separação entre duas voltas adjacentes (espessura do dielétrico entre as placas). -
: permissividade do dielétrico (assume-se que preenche todo o espaço entre as voltas). -
: raio local do rolo (distância média ao centro, para uma volta particular). -
: extensão axial (altura) das placas ao longo do eixo do cilindro. -
: área de faces opostas que ficam em contato elétrico efetivo; para uma volta completa em raio e altura temos . - Objetivo: encontrar a condição geométrica (uma desigualdade do tipo
ou similar) sob a qual o modelo plano vale.
Passo 2
Modelagem física local: duas voltas adjacentes do rolo podem ser vistas, localmente, como duas superfícies cilíndricas concêntricas de raios
(interna) e
(externa), com comprimento axial
. Portanto cada par de voltas adjacentes é equivalente a um capacitor coaxial. Vamos obter a capacitância deste capacitor coaxial (isso é útil porque é um passo padrão e curto).
Derivação da capacitância de dois cilindros concêntricos:
- Considere carga linear
por unidade de comprimento na superfície do cilindro interno. O campo elétrico radial entre os cilindros, por simetria cilíndrica e pela lei de Gauss, é
- A diferença de potencial entre as superfícies é a integral do campo radial:
- A capacitância por comprimento é
. Assim, para comprimento a capacitância total é
Aqui definimos
e
, então
Passo 3
Fazer a aproximação de gap pequeno (a chave da justificativa): suponha que a separação radial
seja muito menor que o raio local
, ou seja
. Então podemos usar a expansão em série para o logaritmo:
onde usamos a aproximação
válida para
.
Substituindo na expressão de
:
Agora observe que a área de faces enfrentadas entre as duas voltas (para uma volta completa no raio
) é exatamente
Substituindo
por
obtemos
que é a fórmula do capacitor plano clássico. Assim, matematicamente, a aproximação
transforma o capacitor coaxial em um capacitor plano localmente.
Passo 4
Discussão das hipóteses e das consequências práticas (o “porquê” físico e limites de validade), explicadas passo a passo:
- Significado físico de
: quando o gap entre voltas é muito pequeno comparado ao raio, a curvatura das superfícies é desprezível na região entre elas; os campos no gap ficam quase retos e homogêneos, como entre placas planas, e a variação radial do campo é pequena sobre a distância . - Necessidade de o dielétrico preencher o espaço: para usar
constante entre as superfícies, o material dielétrico deve preencher todo o gap (se houver ar+papel misturados, deve-se usar a permissividade efetiva). - Espessura das camadas condutoras desprezível: assumimos que as lâminas metálicas são finas comparadas a
e não alteram geometricamente o gap. - Efeitos de borda/franja: a fórmula
ignora fringing. Para o rolo a contribuição de franja por unidade de área é pequena se a altura axial e o comprimento do contato forem grandes em comparação com . Em prática, e tornam o erro de franja pequeno. - Em tom prático: com
e tem-se , a aproximação é excelente. Então, sempre que o papel dielétrico for fino e o rolo for relativamente “grosso” (raio grande), o cálculo via é válido com boa precisão. - Observação sobre a área total
: se o capacitor for formado por uma tira enrolada com várias voltas, as áreas enfrentadas de todas as voltas se somam; portanto deve ser tomada como a área total de faces opostas (comprimento útil da tira multiplicado pela largura efetiva de sobreposição), e a fórmula continua válida porque cada par de voltas contribui localmente com .
Passo 5
Resumo didático (para usar em prova): modele localmente duas voltas adjacentes como cilindros concêntricos de raios
e
; a capacitância exata é
. Para
usar
dá
. Como
, concluímos
. Portanto a aproximação geométrica necessária é que a separação entre voltas seja muito menor que o raio típico da espiral (além do dielétrico preencher o gap e condutores serem finos), o que justifica o uso da fórmula do capacitor plano.
Resposta
A aproximação é
(ou seja
); com o dielétrico preenchendo o gap e condutores finos, cada par de voltas é aproximável por cilindros concêntricos com
, o que leva a
.