1. Em laboratórios de engenharia, construir capacitores planares muito extensos é impraticável. Um arranjo comum é enrolar as placas paralelas (separadas por papel ou polietileno) na forma de uma espiral cilíndrica. Modelando matematicamente, justifique qual aproximação geométrica permite que a capacitância desse rolo espiral continue a ser calculada pela mesma fórmula do capacitor planar clássico C=\varepsilon A / d.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula clássica do capacitor de placas paralelas C=\dfrac{\varepsilon A}{d} (onde \varepsilon é a permissividade do dielétrico, A a área de faces opostas e d a separação). Pede-se justificar por que um rolo espiral (placas enroladas formando uma espiral cilíndrica, separadas por papel ou polietileno) pode ainda ter sua capacitância calculada pela mesma fórmula — ou seja, qual aproximação geométrica torna essa fórmula válida para o rolo.
Informações relevantes que vamos usar:
  • d: separação entre duas voltas adjacentes (espessura do dielétrico entre as placas).
  • \varepsilon: permissividade do dielétrico (assume-se que preenche todo o espaço entre as voltas).
  • r: raio local do rolo (distância média ao centro, para uma volta particular).
  • \ell: extensão axial (altura) das placas ao longo do eixo do cilindro.
  • A: área de faces opostas que ficam em contato elétrico efetivo; para uma volta completa em raio r e altura \ell temos A=(2\pi r)\,\ell.
  • Objetivo: encontrar a condição geométrica (uma desigualdade do tipo d\ll r ou similar) sob a qual o modelo plano vale.

Passo 2

Modelagem física local: duas voltas adjacentes do rolo podem ser vistas, localmente, como duas superfícies cilíndricas concêntricas de raios a=r (interna) e b=r+d (externa), com comprimento axial \ell. Portanto cada par de voltas adjacentes é equivalente a um capacitor coaxial. Vamos obter a capacitância deste capacitor coaxial (isso é útil porque é um passo padrão e curto).
Derivação da capacitância de dois cilindros concêntricos:
  • Considere carga linear \lambda por unidade de comprimento na superfície do cilindro interno. O campo elétrico radial entre os cilindros, por simetria cilíndrica e pela lei de Gauss, é
E(r')=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon r'},\qquad a<r'<b.
  • A diferença de potencial entre as superfícies é a integral do campo radial:
\Delta V=\int_{a}^{b} E(r')\,\mathrm{d}r'=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\int_{a}^{b}\frac{1}{r'}\,\mathrm{d}r'=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
  • A capacitância por comprimento é C'=\dfrac{\lambda}{\Delta V}. Assim, para comprimento \ell a capacitância total é
C=\ell\,C'=\ell\;\frac{2\pi\varepsilon}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
Aqui definimos a=r e b=r+d, então
C=\frac{2\pi\varepsilon \ell}{\ln\!\left(\dfrac{r+d}{r}\right)}.

Passo 3

Fazer a aproximação de gap pequeno (a chave da justificativa): suponha que a separação radial d seja muito menor que o raio local r, ou seja \dfrac{d}{r}\ll 1. Então podemos usar a expansão em série para o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{r+d}{r}\right)=\ln\!\left(1+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r},
onde usamos a aproximação \ln(1+x)\approx x válida para x\ll1.
Substituindo na expressão de C:
C\approx\frac{2\pi\varepsilon \ell}{d/r}=\frac{2\pi\varepsilon r\ell}{d}.
Agora observe que a área de faces enfrentadas entre as duas voltas (para uma volta completa no raio r) é exatamente
A=(2\pi r)\,\ell.
Substituindo 2\pi r\ell por A obtemos
C\approx\frac{\varepsilon A}{d},
que é a fórmula do capacitor plano clássico. Assim, matematicamente, a aproximação d\ll r transforma o capacitor coaxial em um capacitor plano localmente.

Passo 4

Discussão das hipóteses e das consequências práticas (o “porquê” físico e limites de validade), explicadas passo a passo:
  • Significado físico de d\ll r: quando o gap entre voltas é muito pequeno comparado ao raio, a curvatura das superfícies é desprezível na região entre elas; os campos no gap ficam quase retos e homogêneos, como entre placas planas, e a variação radial do campo é pequena sobre a distância d.
  • Necessidade de o dielétrico preencher o espaço: para usar \varepsilon constante entre as superfícies, o material dielétrico deve preencher todo o gap (se houver ar+papel misturados, deve-se usar a permissividade efetiva).
  • Espessura das camadas condutoras desprezível: assumimos que as lâminas metálicas são finas comparadas a d e não alteram geometricamente o gap.
  • Efeitos de borda/franja: a fórmula \varepsilon A/d ignora fringing. Para o rolo a contribuição de franja por unidade de área é pequena se a altura axial \ell e o comprimento do contato forem grandes em comparação com d. Em prática, d\ll r e \ell\gg d tornam o erro de franja pequeno.
  • Em tom prático: com r=0{,}1\\ \text{m} e d=0{,}1\\ \text{mm} tem-se d/r=10^{-3}, a aproximação é excelente. Então, sempre que o papel dielétrico for fino e o rolo for relativamente “grosso” (raio grande), o cálculo via C=\varepsilon A/d é válido com boa precisão.
  • Observação sobre a área total A: se o capacitor for formado por uma tira enrolada com várias voltas, as áreas enfrentadas de todas as voltas se somam; portanto A deve ser tomada como a área total de faces opostas (comprimento útil da tira multiplicado pela largura efetiva de sobreposição), e a fórmula continua válida porque cada par de voltas contribui localmente com \varepsilon\,\mathrm{d}A/d.

Passo 5

Resumo didático (para usar em prova): modele localmente duas voltas adjacentes como cilindros concêntricos de raios r e r+d; a capacitância exata é \dfrac{2\pi\varepsilon \ell}{\ln\big((r+d)/r\big)}. Para d\ll r usar \ln(1+d/r)\approx d/r C\approx\dfrac{2\pi\varepsilon r\ell}{d}. Como A=(2\pi r)\ell, concluímos C\approx\dfrac{\varepsilon A}{d}. Portanto a aproximação geométrica necessária é que a separação entre voltas seja muito menor que o raio típico da espiral (além do dielétrico preencher o gap e condutores serem finos), o que justifica o uso da fórmula do capacitor plano.

Resposta

A aproximação é d\ll r (ou seja \dfrac{d}{r}\ll1); com o dielétrico preenchendo o gap e condutores finos, cada par de voltas é aproximável por cilindros concêntricos com \ln\!\big(1+d/r\big)\approx d/r, o que leva a C\approx\dfrac{\varepsilon A}{d}.

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