Uma usina termoelétrica utiliza vapor gerado à 500^{\circ} \mathrm{C} em uma caldeira, e rejeita calor para um rio à 25^{\circ} \mathrm{C}. A potência elétrica líquida gerada é 100 MW , com uma taxa de rejeição de calor para o rio de 180 MW . (2,5 pts)
Pede-se:
a) Calcule o rendimento térmico real da usina.
b) Calcule o rendimento máximo teórico (rendimento de Carnot) para essa faixa de temperaturas.
c) Compare os dois rendimentos e discuta por que, pela 2^{a} lei, não é possível que a usina tenha um rendimento maior que o rendimento da máquina de Carnot.
d) Calcule a taxa de geração de entropia total associada ao processo (sistema + meio), discuta se o processo é reversível ou irreversível.
e) Conceitualmente, cite duas mudanças no projeto ou na operação que poderiam reduzir a geração de entropia nessa usina (mesmo que isso não zere as irreversibilidades).

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as grandezas indicadas:
  • Temperatura do vapor na caldeira: 500^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura do rio (condensador): 25^{\circ}\mathrm{C}.
  • Potência elétrica líquida (trabalho útil): \dot{W}_{\text{líq}} = 100\\ \mathrm{MW}í.
  • Taxa de rejeição de calor para o rio: \dot{Q}_{C} = 180\\ \mathrm{MW}.
O que é pedido:
(a) Calcular o rendimento térmico real da usina.
(b) Calcular o rendimento máximo teórico (Carnot) entre essas temperaturas.
(c) Comparar os dois rendimentos e discutir por que, pela 2ª lei, a usina não pode ter rendimento maior que o de Carnot.
(d) Calcular a taxa de geração de entropia total associada ao processo (sistema + meio) e dizer se o processo é reversível ou irreversível.
(e) Sugerir conceitualmente duas mudanças no projeto/ operação que reduziriam a geração de entropia (sem eliminar totalmente irreversibilidades).

Passo 2

Primeiro, achar a taxa de calor fornecida pela caldeira ( \dot{Q}_{H}) usando a conservação de energia (1ª lei) em regime estacionário:
\dot{Q}_{H} = \dot{W}_{\text{líq}} + \dot{Q}_{C}.í
Explicando a fórmula: \dot{Q}_{H} é o calor recebido da caldeira por unidade de tempo, \dot{W}_{\text{líq}}í é a potência elétrica entregue pela usina, e \dot{Q}_{C} é o calor rejeitado ao rio por unidade de tempo. Para o estado estacionário a energia que entra como calor deve sair como trabalho e calor rejeitado.
Substituindo os números (em unidades compatíveis):
\dot{Q}_{H} = 100\\ \mathrm{MW} + 180\\ \mathrm{MW} = 280\\ \mathrm{MW}.

Passo 3

Calcular o rendimento térmico real \eta_{\text{real}}. Definição didática: o rendimento de uma usina é a razão entre a potência útil obtida (trabalho líquido) e o calor que entrou na usina:
\eta_{\text{real}} = \frac{\dot{W}_{\text{líq}}}{\dot{Q}_{H}}.í
Aqui \dot{W}_{\text{líq}}í é 100\\ \mathrm{MW} e \dot{Q}_{H} é 280\\ \mathrm{MW}. Então:
\eta_{\text{real}} = \frac{100}{280} = 0,357142857\ldots
Convertendo para porcentagem:
\eta_{\text{real}} \approx 35,71\%.

Passo 4

Calcular o rendimento máximo teórico (Carnot). Primeiro convertemos temperaturas para Kelvin (obrigatório em fórmulas termodinâmicas):
T_H = 500^{\circ}\mathrm{C} + 273{,}15 = 773{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_C = 25^{\circ}\mathrm{C} + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
A fórmula do rendimento de Carnot entre duas reservas é:
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H}.
Substituindo:
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{298{,}15}{773{,}15} \approx 1 - 0{,}385606\ldots = 0{,}614394\ldots
Em porcentagem:
\eta_{\text{Carnot}} \approx 61,44\%.

Passo 5

Comparação rápida (resposta curta para (c) e explicação pela 2ª lei).
  • Numericamente: \eta_{\text{real}}\approx 35{,}71\% < \eta_{\text{Carnot}}\approx 61{,}44\%.
    Explicação didática: a 2ª lei da termodinâmica (na forma de limite de Thomson/Carnot) estabelece que nenhuma máquina térmica operando entre duas reservas de temperatura pode ter rendimento superior ao rendimento de Carnot entre essas mesmas temperaturas. O rendimento de Carnot só é alcançado por um ciclo totalmente reversível (sem geração de entropia). Máquinas reais têm irreversibilidades (transferência de calor com diferença finita de temperatura, atrito, perdas fluidodinâmicas, não-idealidades nos componentes), o que gera entropia e reduz o rendimento abaixo do ideal de Carnot.

Passo 6

Calcular a taxa de geração de entropia total ( \dot{S}_{\text{gen}}) do processo (sistema + meios). Raciocínio e fórmula:
  • Em regime estacionário a variação de entropia do sistema (máquina) é nula ( \dot{S}_{\text{sistema}}=0).
  • A variação de entropia dos reservatórios por unidade de tempo é: o reservatório quente perde calor \dot{Q}_{H} e sua entropia varia -\dfrac{\dot{Q}_{H}}{T_H}; o reservatório frio (rio) recebe \dot{Q}_{C} e varia \dfrac{\dot{Q}_{C}}{T_C}.
  • Assim a geração total de entropia (universo) é
\dot{S}_{\text{gen}} = -\frac{\dot{Q}_{H}}{T_H} + \frac{\dot{Q}_{C}}{T_C}.
Substituindo os valores (usar unidades SI: \mathrm{MW}=10^{6}\\ \mathrm{W}):
\dot{S}_{\text{gen}} = -\frac{280\times10^{6}}{773{,}15} + \frac{180\times10^{6}}{298{,}15}\\ \\ \mathrm{J\\ s^{-1}\\ K^{-1}}.
Calculemos cada termo aproximado:
\frac{280\times10^{6}}{773{,}15} \approx 362\,154\\ \mathrm{J\\ s^{-1}\\ K^{-1}}, \qquad \frac{180\times10^{6}}{298{,}15} \approx 603\,767\\ \mathrm{J\\ s^{-1}\\ K^{-1}}.
Portanto
\dot{S}_{\text{gen}} \approx -362\,154 + 603\,767 = 241\,613\\ \mathrm{J\\ s^{-1}\\ K^{-1}}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
\dot{S}_{\text{gen}} \approx 2,42\times10^{5}\\ \mathrm{W\\ K^{-1}}
(lembrando que \mathrm{W\\ K^{-1}} \equiv \mathrm{J\\ s^{-1}\\ K^{-1}}).

Passo 7

Interpretação da geração de entropia e irreversibilidade (resposta para (d)):
  • Como \dot{S}_{\text{gen}}>0, o processo é termodinamicamente irreversível.
  • Comentário físico: a geração positiva de entropia representa as irreversibilidades internas e de trocas térmicas (por exemplo, calor entrando com grande diferença de temperatura, perdas por atrito e mistura, irreversibilidades em bombas/condensadores/turbinas).

Passo 8

Duas mudanças conceituais para reduzir a geração de entropia (resposta para (e)), com explicação do porquê ajudam:
  1. Aumentar a temperatura de entrada do vapor (maior superaquecimento / maior pressão de caldeira): elevar T_H aumenta o rendimento de Carnot 1-T_C/T_H e, ao mesmo tempo, permite que uma quantidade menor de calor (por ciclo) seja adicionada a temperaturas relativamente baixas, reduzindo as diferenças de temperatura nas trocas térmicas e, portanto, a entropia gerada por essas trocas. Observação prática: há limites materiais e econômicos, mas conceptualmente reduz a irreversibilidade por transferência de calor.
  2. Implementar regeneração / aquecimento prévio do condensado e usar reheat (aquecimento escalonado) e trocadores de calor mais eficientes: ao adicionar aquecimento em etapas e utilizar o calor de extração da turbina para pré-aquecer a água alimentadora, reduz-se o calor que precisa ser adicionado a baixas temperaturas e diminui-se a diferença de temperatura nos trocadores, reduzindo a geração de entropia. Melhorar a eficiência dos trocadores (maior área, fluxo otimizado) também diminui as quedas de temperatura locais e as irreversibilidades.

Resposta

(a) \eta_{\text{real}} = \dfrac{100}{280} \approx 0{,}3571 \approx 35{,}71\%
(b) \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \dfrac{298{,}15}{773{,}15} \approx 0{,}6144 \approx 61{,}44\%
(c) \eta_{\text{real}} < \eta_{\text{Carnot}}. Pela 2ª lei, nenhuma máquina entre duas reservas pode superar o rendimento de Carnot; igualdade ocorre somente para ciclos reversíveis (geração de entropia nula), o que não acontece em usinas reais.
(d) \dot{S}_{\text{gen}} = -\dfrac{280\times10^{6}}{773{,}15} + \dfrac{180\times10^{6}}{298{,}15} \approx 2{,}42\times10^{5}\\ \mathrm{J\\ s^{-1}\\ K^{-1}}. Processo irreversível ( \dot{S}_{\text{gen}}>0).
(e) Duas mudanças conceituais: (1) aumentar T_H (maior superaquecimento / pressão) e (2) usar regeneração/reheat e trocadores mais eficientes para reduzir diferenças de temperatura nas trocas térmicas.

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