Um dos lasers usualmente usados para produzir luz azul e verde é o laser de gás de íons
. Considere um gás desses íons. Você esperaria que o fator de compressibilidade desse sistema que seja maior, menor ou igual a 1 . Explique
Passo 1
O enunciado pergunta se, para um gás de íons
, o fator de compressibilidade esperado é maior, menor ou igual a
. Informação relevante fornecida ou inferível diretamente do enunciado:
- A amostra é formada por íons positivos
(partículas com mesma carga elétrica). - Não foi dada densidade ou temperatura específica nem a presença explícita de elétrons, mas, realisticamente, um gás de íons está num meio eletricamente neutro (há elétrons formando um fundo neutralizante) ou em plasma.
- O que se pede é uma comparação do fator de compressibilidade com
.
Passo 2
Definição do que é o fator de compressibilidade e o caso ideal (base de comparação).
- O fator de compressibilidade
é definido por
onde
é a pressão,
o volume,
o número de partículas,
a constante de Boltzmann e
a temperatura. (Alternativamente, para mols,
.)
- Para um gás ideal, as partículas não interagem exceto por colisões elásticas, e vale
- Portanto, comparar
com significa verificar se as interações entre partículas aumentam ( ) ou diminuem ( ) a pressão do sistema em relação ao caso ideal, à mesma e .
Passo 3
Como as interações entre partículas afetam
: introdução ao desenvolvimento em baixa densidade (expansão de virial).
- Para um gás com interações de par
, em regime de baixa a moderada densidade pode-se usar a expansão de virial:
onde
é a densidade e
é o segundo coeficiente de virial, que incorpora efeitos de interação par a par.
- O segundo coeficiente de virial pode ser escrito como
com
.
- Interpretação do sinal: se a interação é predominantemente atrativa (energia potencial negativa em boa parte do espaço), então
em trechos relevantes e isso tende a tornar , o que leva a . Se a interação é predominantemente repulsiva ( ), então e isso tende a tornar , levando a .
Passo 4
Aplicando essa ideia aos íons
: natureza das interações.
- Íons
têm carga positiva igual; entre dois íons há uma interação de Coulomb repulsiva
onde
(ou múltiplo, aqui é carga unitária positiva) e
a permissividade do vácuo. Essa é uma energia positiva e, portanto, representa repulsão.
- Em um plasma real existe neutralização por elétrons e efeitos de blindagem (screening). O potencial efetivo entre íons costuma ser do tipo “Yukawa” (Coulomb blindado)
onde
é o comprimento de Debye. Esse potencial também é positivo (repulsivo) para todo
, apenas decai mais rapidamente por causa do fator exponencial.
- Como
na maior parte do espaço relevante, no integral do tem-se e, portanto, .
Passo 5
Consequência para o fator de compressibilidade e interpretação física.
- Com
a expansão dá
para densidades onde a expansão é válida. Ou seja, a presença de interações repulsivas entre as partículas aumenta a pressão em relação ao gás ideal à mesma
e
, tornando o gás “menos compressível”.
- Físicamente: cargas iguais se repelem, então, para manter a mesma temperatura e número de partículas num volume dado, a pressão precisa ser maior do que no caso não interagente — é preciso mais esforço (pressão) para comprimir o conjunto de íons por causa da repulsão.
- Observação de limites práticos: se a temperatura for muito alta e/ou a densidade muito baixa (plasma fraco, acoplamento
), o comportamento aproxima o ideal e . Se a blindagem pelos elétrons for muito forte (pequeno ), as correções são menores, mas ainda o potencial efetivo entre íons fica majoritariamente repulsivo, preservando . Em resumo: em condições típicas onde os íons interagem por repulsão, espera-se .
Passo 6
Resposta direta, curta e confiante (para checar rápido na prova).
- Conclusão: devido à repulsão coulombiana entre íons de mesma carga (mesmo quando parcialmente blindada pelos elétrons), o segundo coeficiente de virial é positivo e isso leva a
na maioria das condições físicas relevantes.
Resposta
Maior que 1.