Um dos lasers usualmente usados para produzir luz azul e verde é o laser de gás de íons A r^{+}. Considere um gás desses íons. Você esperaria que o fator de compressibilidade desse sistema que seja maior, menor ou igual a 1 . Explique

Passo 1

O enunciado pergunta se, para um gás de íons A r^{+}, o fator de compressibilidade esperado é maior, menor ou igual a 1. Informação relevante fornecida ou inferível diretamente do enunciado:
  • A amostra é formada por íons positivos A r^{+} (partículas com mesma carga elétrica).
  • Não foi dada densidade ou temperatura específica nem a presença explícita de elétrons, mas, realisticamente, um gás de íons está num meio eletricamente neutro (há elétrons formando um fundo neutralizante) ou em plasma.
  • O que se pede é uma comparação do fator de compressibilidade com 1.

Passo 2

Definição do que é o fator de compressibilidade e o caso ideal (base de comparação).
  • O fator de compressibilidade Z é definido por
Z=\frac{P V}{N k_B T},
onde P é a pressão, V o volume, N o número de partículas, k_B a constante de Boltzmann e T a temperatura. (Alternativamente, para mols, Z=\dfrac{P V}{n R T}.)
  • Para um gás ideal, as partículas não interagem exceto por colisões elásticas, e vale
Z=1.
  • Portanto, comparar Z com 1 significa verificar se as interações entre partículas aumentam ( Z>1) ou diminuem ( Z<1) a pressão do sistema em relação ao caso ideal, à mesma T e N/V.

Passo 3

Como as interações entre partículas afetam Z: introdução ao desenvolvimento em baixa densidade (expansão de virial).
  • Para um gás com interações de par U(r), em regime de baixa a moderada densidade pode-se usar a expansão de virial:
Z=1+B_2(T)\,n+O(n^2),
onde n=N/V é a densidade e B_2(T) é o segundo coeficiente de virial, que incorpora efeitos de interação par a par.
  • O segundo coeficiente de virial pode ser escrito como
B_2(T)=-\frac{1}{2}\int \bigl(e^{-\beta U(r)}-1\bigr)\,d^3r,
com \beta=\dfrac{1}{k_B T}.
  • Interpretação do sinal: se a interação é predominantemente atrativa (energia potencial negativa em boa parte do espaço), então e^{-\beta U(r)}>1 em trechos relevantes e isso tende a tornar B_2<0, o que leva a Z<1. Se a interação é predominantemente repulsiva ( U(r)>0), então e^{-\beta U(r)}<1 e isso tende a tornar B_2>0, levando a Z>1.

Passo 4

Aplicando essa ideia aos íons A r^{+}: natureza das interações.
  • Íons A r^{+} têm carga positiva igual; entre dois íons há uma interação de Coulomb repulsiva
U_{ii}(r)=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 r},
onde q=+e (ou múltiplo, aqui é carga unitária positiva) e \varepsilon_0 a permissividade do vácuo. Essa é uma energia positiva e, portanto, representa repulsão.
  • Em um plasma real existe neutralização por elétrons e efeitos de blindagem (screening). O potencial efetivo entre íons costuma ser do tipo “Yukawa” (Coulomb blindado)
U_{\text{eff}}(r)=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\,e^{-r/\lambda_D},
onde \lambda_D é o comprimento de Debye. Esse potencial também é positivo (repulsivo) para todo r, apenas decai mais rapidamente por causa do fator exponencial.
  • Como U(r)>0 na maior parte do espaço relevante, no integral do B_2 tem-se e^{-\beta U(r)}<1 e, portanto, B_2(T)>0.

Passo 5

Consequência para o fator de compressibilidade e interpretação física.
  • Com B_2(T)>0 a expansão dá
Z=1+B_2(T)\,n+\dots >1
para densidades onde a expansão é válida. Ou seja, a presença de interações repulsivas entre as partículas aumenta a pressão em relação ao gás ideal à mesma T e n, tornando o gás “menos compressível”.
  • Físicamente: cargas iguais se repelem, então, para manter a mesma temperatura e número de partículas num volume dado, a pressão precisa ser maior do que no caso não interagente — é preciso mais esforço (pressão) para comprimir o conjunto de íons por causa da repulsão.
  • Observação de limites práticos: se a temperatura for muito alta e/ou a densidade muito baixa (plasma fraco, acoplamento \Gamma\ll1), o comportamento aproxima o ideal e Z\to1. Se a blindagem pelos elétrons for muito forte (pequeno \lambda_D), as correções são menores, mas ainda o potencial efetivo entre íons fica majoritariamente repulsivo, preservando Z>1. Em resumo: em condições típicas onde os íons interagem por repulsão, espera-se Z>1.

Passo 6

Resposta direta, curta e confiante (para checar rápido na prova).
  • Conclusão: devido à repulsão coulombiana entre íons de mesma carga (mesmo quando parcialmente blindada pelos elétrons), o segundo coeficiente de virial é positivo e isso leva a Z>1 na maioria das condições físicas relevantes.

Resposta

Maior que 1.

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