Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
. - A presença de
implica que só faz sentido para . Portanto o domínio é . - A equação mistura um logaritmo e um termo linear em
, logo não é uma equação algébrica simples — provavelmente teremos que encontrar raízes numéricas (aproximações).
O objetivo é encontrar todos os valores deque satisfazem a equação.
Passo 2
Transformar o problema em estudar uma função contínua ajuda. Defino a função
Resolver a equação é equivalente a achar os zeros de
:
.
Explicação (rápida) do que estou fazendo:
-
é o logaritmo de base . - A função
é contínua em porque e funções lineares são contínuas lá. - Pelo Teorema do Valor Intermediário (TVI): se
é contínua e e têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em . Vou usar isso para mostrar existência de raízes.
Passo 3
Estudo o comportamento nos extremos para entender quantas raízes podem existir.
Limites:
Avaliações pontuais para localizar mudanças de sinal:
Logo
e
implicam existência de ao menos uma raiz em
(pelo TVI).
Também:
Portanto há também pelo menos uma raiz em
.
Conclusão parcial: existem pelo menos duas raízes positivas. Vou agora verificar que não há mais do que duas e depois aproximá-las numericamente.
Passo 4
Estudo da derivada para saber quantas raízes no máximo podem ocorrer.
Derivada (lembrando que
):
Resolver
:
Cálculo aproximado:
então
Sinal de
:
- Para
, (função crescente). - Para
, (função decrescente).
Portantotem exatamente um máximo em . Como tende a em ambas as extremidades e tem um único máximo, pode ter no máximo duas raízes. Juntando com o passo anterior (já encontramos sinais que garantem duas raízes), concluímos que existem exatamente duas raízes positivas.
Passo 5
Vou encontrar numericamente a raiz em
. Primeiro faço uma pequena busca para fechar o intervalo:
- Avaliei
, etc. Resultados úteis (aproximações):
Logo há raiz em
.
Refino com pontos intermediários:
Assim o zero está entre
e
. Faço uma interpolação linear rápida entre os extremos para uma aproximação inicial:
- Entre
e ,
a raiz aproximada por interpolação é
Para melhorar, uso o Método de Newton. Fórmula:
Calculo
explicitamente:
Tomando
(boa aproximação inicial), faço uma iteração (mostro apenas uma iteração porque já estamos muito próximos):
Avalio aproximadamente:
Aplicando Newton:
Com mais iterações (ou checando os valores anteriores) obtemos a raiz com precisão suficiente para a prova:
Passo 6
Agora encontro a raiz em
. Já sabemos de observações anteriores:
então há raiz em
.
Refino por tentativas:
Observa-se que a raiz está muito próxima de
.
Faço uma iteração de Newton a partir de
.
Calculo (valor negativo, como esperado para
).
Aplicando Newton:
Calculo
Aplicando Newton:
Uma avaliação de
dá um valor praticamente zero (ordem
), então a raiz é
Passo 7
Resumo do método usado e segurança das aproximações:
- Usei continuidade e o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raízes em intervalos identificados.
- Usei estudo da derivada para mostrar que há no máximo duas raízes (pois
tem um único máximo). - Depois usei bisseção/interpolação e uma iteração de Newton para obter aproximações numéricas com boa precisão.
- As aproximações fornecidas estão arredondadas a quatro casas decimais; com mais iterações de Newton obtém-se facilmente mais casas, se necessário.