\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{4}+1}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^{4}+1}}.
O conteúdo envolve manipular expressões algébricas com raízes de potências altas, extraindo o fator dominante para simplificar o limite.

Passo 2

Dentro da raiz temos x^4+1. O termo dominante para x\to+\infty é x^4, então escrevemos
\sqrt{x^4+1} =\sqrt{x^4\Bigl(1+\tfrac1{x^4}\Bigr)} =\sqrt{x^4}\,\sqrt{1+\tfrac1{x^4}}.
Como x\to+\infty, temos x>0 e, portanto, \sqrt{x^4}=x^2.

Passo 3

Substituindo na expressão do limite:
\frac{x}{\sqrt{x^4+1}} =\frac{x}{x^2\sqrt{1+\tfrac1{x^4}}} =\frac{1}{\,x\,\sqrt{1+\tfrac1{x^4}}\\ }.

Passo 4

Agora avaliamos o limite de
\frac{1}{x\,\sqrt{1+\tfrac1{x^4}}}
quando x\to+\infty. Temos \sqrt{1+\tfrac1{x^4}}\to1 e x\to+\infty, logo o denominador tende a +\infty e a fração tende a 0.

Resposta

0

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