Uma linha de transmissão (LT) operando em \omega=10^{8} \mathrm{rad} / \mathrm{s} tem os seguintes parâmetros: R=0,1 \Omega / \mathrm{m}, \mathrm{L}=0,2 \mu \mathrm{H} / \mathrm{m}, \mathrm{G}=10 \mu \mathrm{~S} / \mathrm{m} e \mathrm{C}=100 \mathrm{pF} / \mathrm{m}. Obter: a) \alpha ; \quad b) \beta ; \quad c) \lambda ; \quad d) v_{f} ; \quad e) \mathrm{Z}_{0}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • \omega = 10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
  • R = 0{,}1\\ \Omega/\mathrm{m}.
  • L = 0{,}2\\ \mu\mathrm{H}/\mathrm{m} = 2{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{H}/\mathrm{m}.
  • G = 10\\ \mu\mathrm{S}/\mathrm{m} = 1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.
  • C = 100\\ \mathrm{pF}/\mathrm{m} = 1{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.
O enunciado pede:
(a) \alpha (atenuação, em Np/m);
(b) \beta (constante de fase, em rad/m);
(c) \lambda (comprimento de onda, em m);
(d) v_{f} (velocidade de fase, em m/s);
(e) Z_{0} (impedância característica, em \Omega).

Passo 2

Apresentar as fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A constante de propagação complexa é
\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)}.
Aqui R e L aparecem no ramo série por metro, G e C no ramo paralelo por metro, e \omega é a pulsação. O sinal j é a unidade imaginária.
  • O comprimento de onda e velocidade de fase são dados por
\lambda = \frac{2\pi}{\beta},\qquad v_{f}=\frac{\omega}{\beta}.
  • A impedância característica é
Z_{0} = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}}.
Estratégia prática: calcular primeiro j\omega L e j\omega C, formar os complexos R+j\omega L e G+j\omega C, multiplicá-los, e tirar a raiz quadrada complexa (faço isso convertendo em forma polar para obter \alpha e \beta). Depois calculo Z_{0} pela razão e raiz quadrada.

Passo 3

Calcular os termos j\omega L e j\omega C numericamente.
\omega L = 10^{8}\cdot 2{,}0\times10^{-7} = 20\quad(\Omega/\mathrm{m}),
portanto
R + j\omega L = 0{,}1 + j\,20\quad(\Omega/\mathrm{m}).
\omega C = 10^{8}\cdot 1{,}0\times10^{-10} = 0{,}01\quad(\mathrm{S}/\mathrm{m}),
portanto
G + j\omega C = 1{,}0\times10^{-5} + j\,0{,}01\quad(\mathrm{S}/\mathrm{m}).

Passo 4

Calcular o produto (R+j\omega L)(G+j\omega C). Faço a multiplicação de complexos na forma cartesiana.
Seja a=0{,}1,\\ b=20,\\ c=1{,}0\times10^{-5},\\ d=0{,}01. Então
(R+j\omega L)(G+j\omega C) = (ac-bd) + j(ad+bc).
Calculo os termos:
ac = 0{,}1\cdot 1{,}0\times10^{-5} = 1{,}0\times10^{-6},
bd = 20\cdot 0{,}01 = 0{,}2,
ad = 0{,}1\cdot 0{,}01 = 0{,}001,
bc = 20\cdot 1{,}0\times10^{-5} = 0{,}0002.
Portanto o produto é
(R+j\omega L)(G+j\omega C) = -0{,}199999 + j\,0{,}0012.

Passo 5

Tirar a raiz quadrada complexa do número obtido para encontrar \gamma. A maneira mais segura é converter o complexo em forma polar e então tirar raiz:
Primeiro o módulo e o argumento de
z = -0{,}199999 + j\,0{,}0012.
Módulo:
|z| = \sqrt{(-0{,}199999)^{2} + (0{,}0012)^{2}} \approx 0{,}2000026.
Argumento (ângulo):
\theta = \operatorname{atan2}(0{,}0012,\,-0{,}199999) \approx \pi - 0{,}00599996 \approx 3{,}1355927\\ \text{rad}.
A raiz quadrada tem módulo \sqrt{|z|} e ângulo \theta/2:
\sqrt{|z|} \approx 0{,}4472165,\qquad \theta/2 \approx 1{,}5677963\\ \text{rad}.
Convertendo de volta para a forma cartesiana:
\alpha = \Re(\gamma) = 0{,}4472165\cos(1{,}5677963)\approx 0{,}00134165\\ \mathrm{Np/m},
\beta = \Im(\gamma) = 0{,}4472165\sin(1{,}5677963)\approx 0{,}4472145\\ \mathrm{rad/m}.
Observação didática curta: a parte real de \gamma é a atenuação (Np/m) e a parte imaginária é a constante de fase (rad/m). Aqui \alpha é bem pequena porque R e G são muito menores que \omega L e \omega C.

Passo 6

Calcular o comprimento de onda \lambda e a velocidade de fase v_{f} usando \beta.
\lambda = \frac{2\pi}{\beta} = \frac{2\pi}{0{,}4472145}\approx 14{,}0496\\ \mathrm{m}.
v_{f} = \frac{\omega}{\beta} = \frac{10^{8}}{0{,}4472145}\approx 2{,}236068\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular a impedância característica
Z_{0} = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}}.
Primeiro faço a razão complexa em forma cartesiana multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
Numerador: N = 0{,}1 + j\,20.
Denominador: D = 1{,}0\times10^{-5} + j\,0{,}01.
Conjugado de D: D^{*} = 1{,}0\times10^{-5} - j\,0{,}01.
Produto N D^{*}:
N D^{*} = 0{,}200001 - j\,0{,}0008
(são os mesmos termos que calculamos antes reorganizados).
Módulo ao quadrado do denominador:
|D|^{2} = (1{,}0\times10^{-5})^{2} + (0{,}01)^{2} = 0{,}0001000001.
Logo a razão é aproximadamente
\frac{N}{D} \approx 2000{,}009 - j\,7{,}99999.
Agora tiro a raiz quadrada complexa dessa razão (novamente por forma polar). O módulo da razão é cerca de 2000{,}025 e o ângulo é cerca de -0{,}004\\ \mathrm{rad}. A raiz tem módulo \approx 44{,}72175 e ângulo \approx -0{,}002\\ \mathrm{rad}. Convertendo para cartesiano:
Z_{0} \approx 44{,}7217 - j\,0{,}08944\\ \Omega.
Observação prática: se R e G fossem nulos, teríamos Z_{0}=\sqrt{L/C}. Calcule \sqrt{L/C}=\sqrt{2{,}0\times10^{-7}/1{,}0\times10^{-10}}=\sqrt{2000}\approx 44{,}72136\\ \Omega. Aqui o valor calculado difere muito pouco, apenas um pequeno componente imaginário devido a R e G.

Resposta

\alpha \approx 1{,}34165\times10^{-3}\\ \mathrm{Np/m}
\beta \approx 0{,}4472145\\ \mathrm{rad/m}
\lambda \approx 14{,}0496\\ \mathrm{m}
v_{f} \approx 2{,}236068\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}
Z_{0} \approx 44{,}7217 - j\,0{,}08944\\ \Omega

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