Uma linha de transmissão trifásica, circuito simples, é composta por condutores Parakeet e com parâmetros z=0,834 \angle 77,31^{\circ} \Omega / milhas e y=j 5,1975 \times 10^{-6} S / milhas . Determinar a impedância característica e a constante de propagação da linha em 60 Hz .

Passo 1

O enunciado dá os parâmetros por milha da linha trifásica e pede duas grandezas: a impedância característica e a constante de propagação, em 60 Hz. Dados fornecidos (peguei exatamente do enunciado):
z = 0{,}834\angle 77{,}31^\circ\\ \Omega/\text{milha}
y = j\,5{,}1975\times 10^{-6}\\ \text{S}/\text{milha}
Frequência: 60\\ \text{Hz}.
O que se pede:
  • Z_c, impedância característica da linha (por fase).
  • \gamma, constante de propagação (por milha), normalmente escrita como \gamma=\alpha+j\beta onde \alpha é atenuação (Np/milha) e \beta é constante de fase (rad/milha).

Passo 2

Relembrando as fórmulas úteis (aulas rápidas):
Z_c = \sqrt{\frac{z}{y}}
\gamma = \sqrt{z\,y} = \alpha + j\beta
Explicação: para uma linha de parâmetros distribuídos com impedância série por comprimento z e admitância shunt por comprimento y, as soluções das equações diferenciais levam a essas expressões. Aqui z e y são números complexos por milha. Para calcular raízes e produtos de números complexos é muito conveniente usar a forma polar (magnitude e ângulo):
  • Se A = |A|\angle \theta_A e B = |B|\angle \theta_B então \frac{A}{B} = \frac{|A|}{|B|}\angle(\theta_A-\theta_B),
A\cdot B = |A||B|\angle(\theta_A+\theta_B),
\sqrt{A} = \sqrt{|A|}\angle\frac{\theta_A}{2}.
Depois, se quiser \alpha e \beta em forma rectangular, usa-se
\alpha = |\gamma|\cos(\arg\gamma),\qquad \beta = |\gamma|\sin(\arg\gamma).
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Passo prático 1 — calcular Z_c=\sqrt{z/y}.
Dados em forma polar:
|z|=0{,}834,\quad \arg z=77{,}31^\circ
|y|=5{,}1975\times10^{-6},\quad \arg y=90^\circ\\ (\text{pois }y=j\cdot\text{posit.})
Divisão z/y (polar):
\left|\frac{z}{y}\right|=\frac{0{,}834}{5{,}1975\times10^{-6}} \approx 160\,462
\arg\!\left(\frac{z}{y}\right)=77{,}31^\circ-90^\circ=-12{,}69^\circ
Agora a raiz quadrada (forma polar):
Z_c=\sqrt{\frac{z}{y}}=\sqrt{160\,462}\angle\left(-\frac{12{,}69^\circ}{2}\right)
\sqrt{160\,462}\approx 400{,}577,\qquad -\frac{12{,}69^\circ}{2}=-6{,}345^\circ
Logo (forma polar):
Z_c \approx 400{,}577\angle -6{,}345^\circ\\ \Omega/\text{milha}
Passando para forma rectangular (usando \cos e \sin):
\Re(Z_c)=400{,}577\cos(-6{,}345^\circ)\approx 398{,}12\\ \Omega
\Im(Z_c)=400{,}577\sin(-6{,}345^\circ)\approx -44{,}26\\ \Omega
Portanto:
Z_c \approx 400{,}58\angle -6{,}345^\circ\\ \Omega
ou
Z_c \approx 398{,}12 - j\,44{,}26\\ \Omega.

Passo 4

Passo prático 2 — calcular \gamma=\sqrt{z\,y}.
Produto z\cdot y em polar:
|z\cdot y| = 0{,}834\times 5{,}1975\times10^{-6} = 4{,}334715\times10^{-6}
\arg(z\cdot y)=77{,}31^\circ+90^\circ=167{,}31^\circ
Raiz quadrada (polar):
\gamma=\sqrt{z\,y}=\sqrt{4{,}334715\times10^{-6}}\angle\frac{167{,}31^\circ}{2}
\sqrt{4{,}334715\times10^{-6}}\approx 2{,}0816\times10^{-3}
\frac{167{,}31^\circ}{2}=83{,}655^\circ
Logo (polar):
\gamma \approx 2{,}0816\times10^{-3}\angle 83{,}655^\circ\\ \text{por milha}
Agora converto para \alpha+j\beta (retangular): uso \alpha=|\gamma|\cos(\arg\gamma) e \beta=|\gamma|\sin(\arg\gamma).
\alpha = 2{,}0816\times10^{-3}\cos(83{,}655^\circ)\approx 2{,}299\times10^{-4}\\ \text{Np/milha}
\beta = 2{,}0816\times10^{-3}\sin(83{,}655^\circ)\approx 2{,}068\times10^{-3}\\ \text{rad/milha}
Observações rápidas (interpretação): \alpha é muito pequeno — atenuação quase nula por milha — e \beta é a parte imaginária que dá a variação de fase por milha. Se quiser converter \alpha para dB/milha usa 20\log_{10}(e^{\alpha}) ou aproximando 8{,}686\alpha dB/milha; aqui isso dá cerca de 0{,}002 dB/milha (bem pequeno).

Passo 5

Resumo numérico arredondado com precisão prática (3–4 algarismos significativos):
Z_c \approx 400{,}58\angle -6{,}345^\circ\\ \Omega \quad\text{(ou }\;398{,}12 - j\,44{,}26\\ \Omega\text{)}
\gamma \approx 2{,}0816\times10^{-3}\angle 83{,}655^\circ\\ \text{por milha}
\gamma = \alpha + j\beta\quad\text{com}\quad \alpha\approx 2{,}299\times10^{-4}\\ \text{Np/milha},\\ \beta\approx 2{,}068\times10^{-3}\\ \text{rad/milha}

Resposta

\displaystyle Z_c \approx 400{,}58\angle -6{,}345^\circ\\ \Omega (equivalente a \displaystyle 398{,}12 - j\,44{,}26\\ \Omega)\n \displaystyle \gamma \approx 2{,}0816\times10^{-3}\angle 83{,}655^\circ\\ \text{por milha} (ou \displaystyle \gamma=\alpha+j\beta,\\ \alpha\approx 2{,}299\times10^{-4}\\ \text{Np/milha},\\ \beta\approx 2{,}068\times10^{-3}\\ \text{rad/milha}).