Uma máquina para produzir trabalho foi construída com o objetivo de um gás ideal ( \mathrm{Cp}= 7 / 2^{*} \mathrm{R} ) passar de 200 kPa e 226,9^{\circ} \mathrm{C} para 100 kPa e 76,9^{\circ} \mathrm{C}. Como resultado deste processo deve ocorrer a produção de 2 kJ de trabalho e liberação de calor para o ambiente, que se encontra a 27^{\circ} \mathrm{C}.
a) Este processo é possível?
b) Qual o trabalho máximo que poderia ser obtido em um processo com mesmo gás e a mesma mudança de estado?

Passo 1

O enunciado trata de um gás ideal com C_p = \tfrac{7}{2}R que passa do estado 1 \bigl(P_1=200\:\text{kPa},T_1=226{,}9^\circ\text{C}=500\:\text{K}\bigr) para o estado 2 \bigl(P_2=100\:\text{kPa},T_2=76{,}9^\circ\text{C}=350\:\text{K}\bigr), extraindo W=2\:\text{kJ} de trabalho e rejeitando calor para o ambiente a T_0=27^\circ\text{C}=300\:\text{K}.
Conteúdo: 1ª lei (variação de energia interna) e 2ª lei (cálculo de entropias para verificar viabilidade e trabalho máximo reversível).

Passo 2

Calcular a variação de energia interna para n=1\:\text{mol}. Como C_v = C_p - R = \tfrac{5}{2}R,
\Delta U = n\,C_v\,(T_2 - T_1) = 1\cdot \frac{5}{2}R\,(350 - 500) = \frac{5}{2}\cdot8{,}314\cdot(-150) = -3117{,}8\:\text{J}.

Passo 3

Calcular a variação de entropia do sistema entre os estados 1 e 2:
\Delta S_{\rm sys} = n\,C_p\ln\frac{T_2}{T_1} - n\,R\ln\frac{P_2}{P_1} = 1\cdot\frac{7}{2}R\ln\frac{350}{500}\;-\;1\cdot R\ln\frac{100}{200}.
Numericamente,
\ln\frac{350}{500}=\ln0{,}7\approx -0{,}3567,\quad \ln\frac{100}{200}=\ln0{,}5\approx -0{,}6931,
\Delta S_{\rm sys} = \frac{7}{2}\cdot8{,}314\cdot(-0{,}3567)\;-\;8{,}314\cdot(-0{,}6931) \approx -4{,}618\:\text{J/K}.

Passo 4

Calcular a variação de entropia dos arredores. A rejeição de calor é
Q_{\rm out} = -\Delta U - W = -(-3117{,}8) - 2000 = 3117{,}8 -2000 = 1117{,}8\:\text{J}.
Como ele é rejeitado à T_0=300\:\text{K},
\Delta S_{\rm surr} = \frac{Q_{\rm out}}{T_0} = \frac{1117{,}8}{300}\approx 3{,}726\:\text{J/K}.

Passo 5

Total de entropia do universo:
\Delta S_{\rm tot} = \Delta S_{\rm sys} + \Delta S_{\rm surr} \approx -4{,}618 + 3{,}726 = -0{,}892\:\text{J/K}<0.
Como \Delta S_{\rm tot}<0, o processo proposto (com 1 mol e W=2\:\text{kJ}) viola a 2ª lei e não é possível.

Passo 6

Para achar o trabalho máximo reversível entre os mesmos estados, usamos
W_{\max} = Q_{\rm rev} - \Delta U, \quad Q_{\rm rev} = T_0\,\Delta S_{\rm sys}.
Logo,
W_{\max} = T_0\,\Delta S_{\rm sys} - \Delta U = 300\cdot(-4{,}618) - (-3117{,}8) = -1385{,}4 +3117{,}8 = 1732{,}4\:\text{J}.

Resposta

a) Não, o processo com W=2\:\text{kJ} e n=1\:\text{mol} gera \Delta S_{\rm tot}<0, contrariando a 2ª lei.
b) O trabalho máximo reversível obtido é
W_{\max}\approx1{,}73\:\text{kJ}.

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