Uma máquina térmica opera entre duas fontes a 500 K e 300 K . Em cada ciclo, retira 1000 J da fonte quente. Qual é o máximo trabalho que pode ser realizado por ciclo? Qual é o rendimento máximo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas. Dados:
T_h = 500\\ \mathrm{K},
T_c = 300\\ \mathrm{K},
Q_h = 1000\\ \mathrm{J}\\ \text{(calor retirado da fonte quente por ciclo).}
Perguntas:
  • Qual é o máximo trabalho que pode ser realizado por ciclo?
  • Qual é o rendimento máximo?

Passo 2

Entendimento físico e ideia principal (sem fórmulas ainda).
Para uma máquina térmica que opera entre duas fontes de temperaturas fixas, o maior rendimento possível é obtido por uma máquina reversível ideal chamada máquina de Carnot. Intuitivamente: processos irreversíveis perdem energia disponível em forma de calor, então a reversibilidade dá o limite superior de eficiência. Para a máquina de Carnot existe uma relação simples entre os calores trocados e as temperaturas das fontes, vinda do fato de que, num ciclo reversível, a variação total de entropia é zero.

Passo 3

Apresentando a fórmula central a partir do argumento de entropia (a parte teórica que você precisa lembrar).
Em um ciclo reversível a variação total de entropia é zero, então o calor trocado com cada reservatório satisfaz
\frac{Q_h}{T_h} - \frac{Q_c}{T_c} = 0,
onde \,Q_h é o calor absorvido da fonte quente e \,Q_c é o calor cedido à fonte fria (ambos positivos na magnitude). Dessa relação isolamos Q_c:
Q_c = Q_h\frac{T_c}{T_h}.
Explicando as variáveis: \,Q_h é energia térmica retirada da fonte quente por ciclo, \,Q_c é a energia térmica entregue à fonte fria por ciclo, e \,T_h,\;T_c são as temperaturas absolutas (em kelvin) das fontes quente e fria respectivamente.

Passo 4

Ligando calor e trabalho: definição de trabalho por ciclo.
Pela primeira lei da termodinâmica para o ciclo (conservação de energia):
W = Q_h - Q_c,
onde \,W é o trabalho realizado pela máquina por ciclo. Substituindo Q_c obtido no passo anterior:
W_{\max} = Q_h\left(1 - \frac{T_c}{T_h}\right).
Aqui W_{\max} é o trabalho máximo por ciclo porque usamos a hipótese de ciclo reversível (Carnot), que dá o máximo possível.

Passo 5

Cálculo numérico do trabalho máximo usando os valores dados.
Primeiro calcule a razão de temperaturas:
\frac{T_c}{T_h} = \frac{300}{500} = \frac{3}{5} = 0,6.
Então
1 - \frac{T_c}{T_h} = 1 - 0,6 = 0,4.
Portanto
W_{\max} = Q_h\cdot 0,4 = 1000\\ \mathrm{J}\cdot 0,4 = 400\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Cálculo do rendimento máximo e interpretação.
Rendimento (eficiência) é definido por
\eta = \frac{W}{Q_h}.
Para a máquina de Carnot (rendimento máximo) temos diretamente
\eta_{\max} = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Já calculamos essa quantidade no passo anterior: \eta_{\max}=0,4. Em porcentagem:
\eta_{\max}=0,4=40\%.
Interpretação rápida: com as temperaturas dadas, no melhor caso possível você transforma 40\% do calor extraído da fonte quente em trabalho; os outros 60\% (isto é, 600\\ \mathrm{J} neste caso) devem ser rejeitados para a fonte fria.

Resposta

W_{\max}=400\\ \mathrm{J}
\eta_{\max}=0,4=40\%

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