Uma máquina térmica opera entre duas fontes a 500 K e 300 K . Em cada ciclo, retira 1000 J da fonte quente. Qual é o máximo trabalho que pode ser realizado por ciclo? Qual é o rendimento máximo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas. Dados:
Perguntas:
- Qual é o máximo trabalho que pode ser realizado por ciclo?
- Qual é o rendimento máximo?
Passo 2
Entendimento físico e ideia principal (sem fórmulas ainda).
Para uma máquina térmica que opera entre duas fontes de temperaturas fixas, o maior rendimento possível é obtido por uma máquina reversível ideal chamada máquina de Carnot. Intuitivamente: processos irreversíveis perdem energia disponível em forma de calor, então a reversibilidade dá o limite superior de eficiência. Para a máquina de Carnot existe uma relação simples entre os calores trocados e as temperaturas das fontes, vinda do fato de que, num ciclo reversível, a variação total de entropia é zero.
Para uma máquina térmica que opera entre duas fontes de temperaturas fixas, o maior rendimento possível é obtido por uma máquina reversível ideal chamada máquina de Carnot. Intuitivamente: processos irreversíveis perdem energia disponível em forma de calor, então a reversibilidade dá o limite superior de eficiência. Para a máquina de Carnot existe uma relação simples entre os calores trocados e as temperaturas das fontes, vinda do fato de que, num ciclo reversível, a variação total de entropia é zero.
Passo 3
Apresentando a fórmula central a partir do argumento de entropia (a parte teórica que você precisa lembrar).
Em um ciclo reversível a variação total de entropia é zero, então o calor trocado com cada reservatório satisfaz
Em um ciclo reversível a variação total de entropia é zero, então o calor trocado com cada reservatório satisfaz
onde
é o calor absorvido da fonte quente e
é o calor cedido à fonte fria (ambos positivos na magnitude). Dessa relação isolamos
:
Explicando as variáveis:
é energia térmica retirada da fonte quente por ciclo,
é a energia térmica entregue à fonte fria por ciclo, e
são as temperaturas absolutas (em kelvin) das fontes quente e fria respectivamente.
Passo 4
Ligando calor e trabalho: definição de trabalho por ciclo.
Pela primeira lei da termodinâmica para o ciclo (conservação de energia):
Pela primeira lei da termodinâmica para o ciclo (conservação de energia):
onde
é o trabalho realizado pela máquina por ciclo. Substituindo
obtido no passo anterior:
Aqui
é o trabalho máximo por ciclo porque usamos a hipótese de ciclo reversível (Carnot), que dá o máximo possível.
Passo 5
Cálculo numérico do trabalho máximo usando os valores dados.
Primeiro calcule a razão de temperaturas:
Primeiro calcule a razão de temperaturas:
Então
Portanto
Passo 6
Cálculo do rendimento máximo e interpretação.
Rendimento (eficiência) é definido por
Rendimento (eficiência) é definido por
Para a máquina de Carnot (rendimento máximo) temos diretamente
Já calculamos essa quantidade no passo anterior:
. Em porcentagem:
Interpretação rápida: com as temperaturas dadas, no melhor caso possível você transforma
do calor extraído da fonte quente em trabalho; os outros
(isto é,
neste caso) devem ser rejeitados para a fonte fria.