Por que o Hélio ( He ) e o Hidrogênio ( \mathrm{H}_{2} ) têm temperaturas de Boyle muito baixas?

Passo 1

O enunciado pergunta por que o Hélio (He) e o Hidrogênio molecular ( \mathrm{H}_{2}) apresentam temperaturas de Boyle muito baixas. As informações relevantes que temos do enunciado são:
  • As espécies envolvidas: átomos de hélio ( \mathrm{He}) e moléculas de hidrogênio ( \mathrm{H}_{2}).
  • A pergunta é qualitativa: pedir a razão física pela qual a temperatura de Boyle dessas substâncias é “muito baixa”.
    Nada mais foi dado explicitamente; vamos trabalhar com as definições e relações padrão que ligam a temperatura de Boyle às forças intermoleculares.

Passo 2

Definição precisa da temperatura de Boyle usando a expansão em séries (virial):
P V_m = R T \left(1 + \frac{B(T)}{V_m} + \frac{C(T)}{V_m^2} + \cdots\right),
onde P é a pressão, V_m o volume molar, R a constante dos gases, e B(T) é o segundo coeficiente virial (função da temperatura). A temperatura de Boyle T_B é definida por
B(T_B)=0.
Expliquei as variáveis: B(T) mede a primeira correção à idealidade causada por interações entre pares de moléculas; quando B=0 a contribuição de ordem 1/V_m some e o gás se comporta, até primeira ordem em densidade, como gás ideal.

Passo 3

Expressão física do segundo coeficiente virial em função do potencial intermolecular. Para um potencial de par U(r) entre duas partículas, temos:
B(T) = -\tfrac{1}{2}N_A \int \bigl(e^{-U(r)/(k_B T)}-1\bigr)\,4\pi r^2\,dr,
onde N_A é o número de Avogadro, k_B a constante de Boltzmann e r a distância entre partículas. Interpretação física dessa fórmula:
  • Para distâncias pequenas r a energia U(r) é muito positiva (forta repulsão de curto alcance), então e^{-U/(k_BT)} é muito pequeno e a integranda é próxima de -1, contribuindo com um termo positivo para B(T) (efeito excluído / repulsivo).
  • Para distâncias maiores onde U(r) é negativa (poço atrativo), a integranda é negativa, dando contribuição negativa a B(T) (efeito atrativo).
    Logo B(T) é a soma de contribuições repulsivas (curto alcance) e atrativas (longo alcance). A temperatura de Boyle ocorre quando essas duas contribuições se cancelam.

Passo 4

Como a temperatura afeta B(T) e o papel da profundidade do poço atrativo \varepsilon. Para potenciais típicos (por exemplo Lennard-Jones) existe uma energia característica \varepsilon que mede a profundidade do poço atrativo (força de dispersão/London). Dimensionalmente, B(T) depende da razão T/\bigl(\varepsilon/k_B\bigr); isto é, em que medida a energia térmica k_B T compara-se com a energia de interação \varepsilon. Consequência prática:
  • Se k_B T \gg \varepsilon (temperatura muito alta comparada à energia de interação), o fator e^{-U/(k_BT)}\approx 1 - U/(k_BT)+\cdots e as contribuições atrativas ficam pequenas → B(T) tende a ser dominado por repulsão (positivo ou pouco negativo).
  • Se k_B T é da ordem de \varepsilon ou menor, as atrações são importantes e a parte negativa de B(T) pode dominar.
    Portanto, a escala da temperatura de Boyle é da ordem de \varepsilon/k_B: para interações fracas (pequeno \varepsilon) a temperatura em que atração e repulsão se cancelam será baixa.

Passo 5

Explicação alternativa usando o modelo de van der Waals (fórmula simples e útil em provas). No modelo de van der Waals o segundo coeficiente virial aproximado é
B(T)\approx b - \frac{a}{R T},
onde a mede a intensidade média da atração entre pares e b é o volume excluído (tamanho efetivo das partículas). Impor B(T_B)=0
T_B = \frac{a}{b R}.
Interpretação: para um gás, quanto menor for a (atração fraca), menor será T_B (desde que b não caia ainda mais proporcionalmente). Assim, no quadro van der Waals, uma pequena constante a (forças intermoleculares fracas) implica uma temperatura de Boyle baixa. Esse resultado é consistente com o argumento geral do passo anterior que liga T_B à energia de interação.

Passo 6

Aplicando aos casos reais: por que \mathrm{He} e \mathrm{H}_{2} têm interações fracas?
  • Hélio ( \mathrm{He}): átomo monoatômico com camada fechada e altíssima estabilidade eletrônica. Isso resulta em polarizabilidade muito baixa (a nuvem eletrônica é pouco deformável). As forças de London (dispersion) são proporcionais à polarizabilidade; logo as atrações induzidas entre átomos de hélio são extremamente pequenas — isto é, \varepsilon e a constante a são muito pequenas.
  • Hidrogênio ( \mathrm{H}_{2}): apesar de ser molécula, é muito pequena, com apenas dois elétrons fortemente ligados e baixa polarizabilidade. As forças de dispersão entre moléculas de \mathrm{H}_{2} também são fracas em comparação com moléculas maiores e mais polarisáveis.
    Consequência: ambos têm valores baixos de \varepsilon (energia característica de atração) e, portanto, uma temperatura de Boyle T_B ordenada de \varepsilon/k_B que é pequena.

Passo 7

Papel de efeitos quânticos (especialmente para hélio): no hélio, além da baixa polarizabilidade, existe forte delocalização quântica (grande movimento zero-ponto) que reduz ainda mais a efetividade das interações atrativas macroscópicas e impede a liquefação a temperaturas relativamente altas. Esse efeito quântico reforça que a temperatura na qual a atração começa a ser importante (isto é, T_B) fica ainda mais baixa. Para \mathrm{H}_{2} também há efeitos quânticos, mas menos extremos do que para o hélio.

Passo 8

Resumo físico e dica prática de prova: a temperatura de Boyle é a temperatura em que o termo de segunda ordem da expansão virial zera ( B(T_B)=0). Essa temperatura tem escala energética dada pela profundidade do poço de interação \varepsilon (ou, no modelo van der Waals, por a/(bR)). Como \mathrm{He} e \mathrm{H}_{2} têm interações intermoleculares muito fracas (baixa polarizabilidade → baixo \varepsilon e baixo a), as atrações só se tornam comparáveis à energia térmica a temperaturas muito baixas — por isso T_B é pequeno para essas espécies. Força a ideia: “pouca atração → precisa esfriar muito para ela ‘tomar conta’ → Boyle muito baixo”.

Resposta

Porque a temperatura de Boyle T_B é a temperatura em que o segundo coeficiente virial zera ( B(T_B)=0), e T_B tem escala da profundidade do poço de interação \varepsilon (ou, no modelo van der Waals, T_B=a/(bR)). Tanto \mathrm{He} quanto \mathrm{H}_{2} têm forças intermoleculares muito fracas (baixa polarizabilidade → pequeno \varepsilon e pequena constante a), logo a temperatura em que a atração compensa a repulsão é muito baixa.

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