Uma massa de 10 kg de ar é aquecida de 30^{\circ} \mathrm{C} para 130^{\circ} \mathrm{C} em um dispositivo pistão-cilindro de tal forma que a pressão do ar é de 1 atm durante o processo. Se o processo for completado em 1000 s , qual é a taxa em que o calor é adicionado? Qual é a taxa em que trabalho é realizado pelo ar?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Massa do ar: m=10\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial: T_1=30^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: T_2=130^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão durante o processo: P=1\\ \text{atm} (constante durante o processo).
  • Tempo do processo: t=1000\\ \mathrm{s}.
Perguntas do enunciado:
  1. Qual é a taxa em que o calor é adicionado ao ar (isto é, \dot{Q})?
  2. Qual é a taxa em que trabalho é realizado pelo ar (isto é, \dot{W})?
Observação importante extraída do enunciado: o processo ocorre a pressão constante ( P constante). Não foi fornecida outra propriedade do ar, então vamos usar valores usualmente adotados para ar ideal (explico isso no próximo passo).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa devagarinho).
  • Para um processo a pressão constante, a quantidade de calor trocada que altera a entalpia é dada por
Q = \Delta H = m c_p \Delta T,
onde m é a massa, c_p é o calor específico a pressão constante (por unidade de massa) e \Delta T=T_2-T_1 é a variação de temperatura. Explicando: c_p diz quanto de energia (em joules) é preciso para aumentar 1 kg do fluido em 1\\ \mathrm{K} quando a pressão é mantida constante. A unidade de c_p é \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • A taxa de calor (potência de aquecimento) é
\dot{Q}=\frac{Q}{t}.
  • O trabalho realizado por um gás em um processo a pressão constante é o trabalho pressão-volume:
W = P\Delta V.
Usando a equação dos gases ideais PV=mRT (onde R é a constante específica do gás), obtemos
P\Delta V = mR\Delta T.
Portanto, para um gás ideal a pressão constante:
W = mR\Delta T.
E a taxa de trabalho é
\dot{W}=\frac{W}{t}.
Aqui R é a constante do ar: R\approx 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Quanto ao valor de c_p do ar: para ar seco em condições próximas a ambiente é comum usar c_p\approx 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Esse é um valor tabulado e suficiente para exercícios de termodinâmica introdutória. (Se fosse preciso muita precisão em engenharia real, usaríamos tabelas ou software.)
  • Observação sobre temperaturas: como usamos apenas diferenças de temperatura, podemos trabalhar com ^\circ\mathrm{C} diretamente porque uma variação em ^\circ\mathrm{C} é igual a uma variação em \mathrm{K}. Assim
\Delta T = T_2-T_1 = 130^\circ\mathrm{C}-30^\circ\mathrm{C}=100\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Calcular o calor total adicionado Q usando \displaystyle Q=m c_p \Delta T.
Substituindo:
Q = (10\\ \mathrm{kg})\cdot(1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)})\cdot(100\\ \mathrm{K}).
Faço as contas em etapas: primeiro c_p\Delta T = 1005\cdot100 = 100{,}500\\ \mathrm{J/kg}. Multiplicando por m=10\\ \mathrm{kg}:
Q = 10\cdot100{,}500 = 1{,}005{,}000\\ \mathrm{J}.
Agora a taxa de calor (potência média) durante t=1000\\ \mathrm{s} é
\dot{Q}=\frac{Q}{t}=\frac{1{,}005{,}000\\ \mathrm{J}}{1000\\ \mathrm{s}}=1005\\ \mathrm{J/s}.
Se preferir em quilowatts:
1005\\ \mathrm{J/s}=1{,}005\\ \mathrm{kW}.

Passo 4

Calcular o trabalho total W realizado pelo ar usando \displaystyle W=mR\Delta T.
Substituindo:
W = (10\\ \mathrm{kg})\cdot(287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)})\cdot(100\\ \mathrm{K}).
Faço as contas: R\Delta T = 287\cdot100 = 28{,}700\\ \mathrm{J/kg}. Multiplicando por m=10\\ \mathrm{kg}:
W = 10\cdot28{,}700 = 287{,}000\\ \mathrm{J}.
Taxa de trabalho (potência mecânica média) durante t=1000\\ \mathrm{s}:
\dot{W}=\frac{W}{t}=\frac{287{,}000\\ \mathrm{J}}{1000\\ \mathrm{s}}=287\\ \mathrm{J/s}.
Em quilowatts:
287\\ \mathrm{J/s}=0{,}287\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Verificação e interpretação física (ajuda a entender na prova).
  • Podemos verificar pela primeira lei (variação de energia interna): \displaystyle Q=\Delta U + W, com \Delta U = m c_v \Delta T e c_v = c_p - R. Calculando c_v:
c_v = 1005 - 287 = 718\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Então
\Delta U = m c_v \Delta T = 10\cdot718\cdot100 = 718{,}000\\ \mathrm{J}.
E Q = \Delta U + W = 718{,}000 + 287{,}000 = 1{,}005{,}000\\ \mathrm{J}, que bate com o Q calculado no Passo 3. Ótimo — consistência confirmada.
  • Interpretação: de cada joule de calor fornecido, parte aumenta a energia interna (temperatura) e parte é gastada como trabalho de expansão contra a pressão externa. Aqui aproximadamente 71{,}4\% do calor vai para aumentar a energia interna e 28{,}6\% vira trabalho (proporção dada pelos termos relativos de c_v e R).

Resposta

\dot{Q}=1005\\ \mathrm{J/s}=1{,}005\\ \mathrm{kW}
\dot{W}=287\\ \mathrm{J/s}=0{,}287\\ \mathrm{kW}

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