Uma massa é submetida aos seguintes movimentos harmônicos:
x_{1}(t)=X \cos \omega t e x_{2}(t)=X \cos (\omega+\bar{\delta}) t
\operatorname{com} X=1 \mathrm{~cm} e \omega=20 \mathrm{rad} / \mathrm{seg}. Faça o gráfico do movimento resultante usando matlab ou python, e identifique a frequência de batimento.

Passo 1

O enunciado diz que uma massa realiza dois movimentos harmônicos simultâneos
x_{1}(t)=X\cos(\omega t),\quad x_{2}(t)=X\cos\bigl((\omega+\bar\delta)\,t\bigr)
com X=1,cm e \omega=20,rad/s. O objetivo é somar esses dois movimentos, traçar o gráfico da soma e identificar a frequência de batimento. Para isso vamos precisar da identidade trigonométrica de soma de cossenos e de gerar um gráfico (em MATLAB ou Python).

Passo 2

Aplicamos a identidade
\cos A+\cos B = 2\cos\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr)
com A=\omega t e B=(\omega+\bar\delta)t. Assim
x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t) =2X\cos\!\Bigl(\tfrac{(\omega)+(\omega+\bar\delta)}{2}\,t\Bigr)\, \cos\!\Bigl(\tfrac{(\omega+\bar\delta)-\omega}{2}\,t\Bigr).
Simplificando,
x(t)=2X\cos\!\Bigl((\omega+\tfrac{\bar\delta}{2})t\Bigr)\, \cos\!\Bigl(\tfrac{\bar\delta}{2}\,t\Bigr).

Passo 3

Na expressão acima vemos um cosseno de alta frequência \omega+\tfrac{\bar\delta}{2} multiplicado por um cosseno de baixa frequência \tfrac{\bar\delta}{2}. Essa baixa frequência é a dos batimentos em rad/s. Convertendo para hertz, a frequência de batimento é
f_{\rm bat}=\frac{\tfrac{\bar\delta}{2\pi}}{1}=\frac{\bar\delta}{2\pi}\quad\text{(Hz)}.

Passo 4

Segue um exemplo de código em Python para traçar x(t) e as envoltórias de amplitude. Suponha um valor ilustrativo \bar\delta=1,rad/s:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

X \(=1.0\) # cm
omega \(=20.0\) # rad/s
delta \(=1.0\) # rad/s (diferença)
t = np.linspace(0, 4*np.pi/delta, 1000) # dois períodos de batimento

x\(1=\) X * np.cos(omega * t)
x\(2=\) X * np.cos((omega + delta) * t)
x = x\(1+\) x2

envelope \(=2\)*X * np.cos(delta/2 * t)
plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(t, x, 'b', label='x(t)')
plt.plot(t, envelope, 'r--', label='+Envoltória')
plt.plot(t, -envelope, 'r--', label='-Envoltória')
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('x (cm)')
plt.title('Movimento resultante com batimentos')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Resposta

A frequência de batimento é
f_{\rm bat} = \frac{\bar\delta}{2\pi}\\ \text{Hz}.

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