Uma massa é submetida aos seguintes movimentos harmônicos:
e
e
. Faça o gráfico do movimento resultante usando matlab ou python, e identifique a frequência de batimento.
Passo 1
O enunciado diz que uma massa realiza dois movimentos harmônicos simultâneos
com
,cm e
,rad/s. O objetivo é somar esses dois movimentos, traçar o gráfico da soma e identificar a frequência de batimento. Para isso vamos precisar da identidade trigonométrica de soma de cossenos e de gerar um gráfico (em MATLAB ou Python).
Passo 2
Aplicamos a identidade
com
e
. Assim
Simplificando,
Passo 3
Na expressão acima vemos um cosseno de alta frequência
multiplicado por um cosseno de baixa frequência
. Essa baixa frequência é a dos batimentos em rad/s. Convertendo para hertz, a frequência de batimento é
Passo 4
Segue um exemplo de código em Python para traçar
e as envoltórias de amplitude. Suponha um valor ilustrativo
,rad/s:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X \(=1.0\) # cm
omega \(=20.0\) # rad/s
delta \(=1.0\) # rad/s (diferença)
t = np.linspace(0, 4*np.pi/delta, 1000) # dois períodos de batimento
x\(1=\) X * np.cos(omega * t)
x\(2=\) X * np.cos((omega + delta) * t)
x = x\(1+\) x2
envelope \(=2\)*X * np.cos(delta/2 * t)
plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(t, x, 'b', label='x(t)')
plt.plot(t, envelope, 'r--', label='+Envoltória')
plt.plot(t, -envelope, 'r--', label='-Envoltória')
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('x (cm)')
plt.title('Movimento resultante com batimentos')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Resposta
A frequência de batimento é