Mesmo sistema do exercício 4, porém o volume total de 250 mL é aplicado em 5 extrações iguais. Qual o rendimento total acumulado?

Passo 1

O enunciado diz: “Mesmo sistema do exercício 4, porém o volume total de 250\\ \text{mL} é aplicado em 5 extrações iguais. Qual o rendimento total acumulado?”\n
Informações que o enunciado dá explicitamente:
\text{Volume total de solvente} = 250\\ \text{mL},\quad \text{número de extrações} = 5.úçõ
Daí segue que o volume de cada extração é
V = \frac{250}{5}=50\\ \text{mL}.
Pergunta feita: “Qual o rendimento total acumulado?”\n
Informações que faltam (estas são necessárias para um cálculo numérico): o coeficiente de partição entre fases K (definido como a razão de concentrações na fase orgânica e aquosa em equilíbrio) e o volume da fase aquosa V_a ou a quantidade inicial de soluto m_0. Essas informações não estão no enunciado atual (são presumivelmente dadas no exercício 4). Sem K e V_a não é possível obter um valor numérico final. A resolução abaixo explica a fórmula geral e como proceder quando esses dados estiverem disponíveis.

Passo 2

Conceito-chave: coeficiente de partição K.\n
Definição: K é a razão entre a concentração do soluto na fase orgânica e na fase aquosa em equilíbrio:
K=\frac{C_s}{C_a},
onde C_s é a concentração na fase orgânica (solvente) e C_a é a concentração na fase aquosa. Ambos em unidades iguais (por ex. mol·L^{-1}).\n
Intuição: se K é grande, o soluto prefere a fase orgânica (boa extração). Se K é pequeno, o soluto prefere ficar na fase aquosa.

Passo 3

Derivação da fração que permanece na fase aquosa depois de UMA extração.\n
Suponha que antes da extração haja uma quantidade inicial de soluto m_0 toda na fase aquosa de volume V_a. Fazemos uma extração com um volume de solvente V. Em equilíbrio, as concentrações satisfazem C_s = K C_a. As massas nas fases em equilíbrio são
m_a = C_a V_a,\qquad m_s = C_s V = K C_a V.
Conservação da massa:
m_0 = m_a + m_s = C_a(V_a + K V).
Logo
C_a = \frac{m_0}{V_a + K V}.
A fração da massa que permanece na fase aquosa após essa extração é
\frac{m_a}{m_0} = \frac{C_a V_a}{m_0} = \frac{V_a}{V_a + K V}.
Explicação em palavras: a parte que fica na água depende da razão entre o volume aquoso e o volume “efetivo” que inclui o efeito de partição K V.

Passo 4

Fração que permanece após n extrações idênticas.\n
Se cada extração é idêntica (mesmo volume V e mesmo K), e se após cada extração a fase orgânica é removida antes da próxima (caso típico), as extrações são independentes e a fração que permanece após n extrações é o produto das frações que permanecem em cada etapa. Assim:
\text{fração remanescente após }n = \left(\frac{V_a}{V_a + K V}\right)^{n}.çãó
Portanto o rendimento acumulado (fração total extraída) é
\text{rendimento acumulado} = 1 - \left(\frac{V_a}{V_a + K V}\right)^{n}.

Passo 5

Aplicando ao caso específico do enunciado: n=5 e V=50\\ \text{mL}.\n
Substituindo n=5 e V=50 na fórmula geral obtemos:
\boxed{\text{rendimento acumulado} = 1 - \left(\frac{V_a}{V_a + K\cdot 50}\right)^{5}.}
Isto dá a resposta em função de K e do volume aquoso V_a. Quando você tiver os valores de K e V_a do exercício 4 é só substituir aqui e calcular. Vou mostrar dois exemplos numéricos para treinar:
Exemplo A (ilustrativo): suponha V_a=100\\ \text{mL} e K=10.
\frac{V_a}{V_a+K V}=\frac{100}{100+10\cdot 50}=\frac{100}{600}=\frac{1}{6}.
\text{rendimento}=1-\left(\frac{1}{6}\right)^{5}=1-\frac{1}{7776}\approx 0{,}999871\\ (\text{ou }99{,}9871\%).
Exemplo B (ilustrativo): suponha V_a=100\\ \text{mL} e K=1.
\frac{V_a}{V_a+K V}=\frac{100}{100+1\cdot 50}=\frac{100}{150}=\frac{2}{3}.
\text{rendimento}=1-\left(\frac{2}{3}\right)^{5}=1-\frac{32}{243}\approx 0{,}8683\\ (\text{ou }86{,}83\%).
Esses exemplos mostram como o rendimento melhora muito quando K é grande e/ou quando se usa várias extrações pequenas em vez de uma única grande.

Passo 6

Resumo prático para a prova (passo a passo que você pode escrever rapidamente):\n
  1. Identificar V por extração: V=\dfrac{\text{volume total}}{n}. Aqui V=50\\ \text{mL}.\n
  2. Usar a fórmula:
\text{rendimento acumulado} = 1 - \left(\frac{V_a}{V_a + K V}\right)^{n}.
  1. Substituir n=5 e V=50 e os valores de K e V_a do enunciado (ou do exercício 4) para obter o número final.\n
    Se precisar, eu calculo para você assim que você me passar os valores de K e V_a do exercício 4 — mas não os inventei aqui porque o enunciado os omitiu.

Resposta

\text{rendimento acumulado} = 1 - \left(\frac{V_a}{V_a + K\cdot 50}\right)^{5}.
(Impossível dar um valor numérico sem os valores de K e V_a do exercício 4.)

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