\mathbf{2}^{\underline{\mathbf{a}}} - Encontre o limite de fadiga corrigido e construa o diagrama S-N conforme condições: Uma barra de aço com limite de resistência a tração 110 kpsi, diâmetro de 2 in, acabamento superficial retificado, com carregamento de torção, operando a temperatura ambiente e \operatorname{com} 99,9 \% de confiabilidade. Verifique se para uma tensão de uso de 40 kpsi o elemento irá falhar, caso falhe, qual o número de ciclos correspondente. (2,5)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
Limite de resistência à tração: S_u = 110\\ \mathrm{kpsi}.
Diâmetro da barra: d = 2\\ \mathrm{in}.
Acabamento superficial: retificado.
Tipo de carregamento: torção (carregamento em cisalhamento alternado).
Temperatura: ambiente (podemos usar fator de temperatura k_d=1).
Confiabilidade requerida: 99{,}9\%.
Tensão de uso dada: 40\\ \mathrm{kpsi}.
O que o problema pede:
Encontrar o limite de fadiga corrigido (ou seja, o limite de resistência à fadiga após aplicar os fatores de correção).
Construir o diagrama S-N (vamos obter a expressão prática da curva no intervalo relevante).
Verificar se, para uma tensão de uso de 40\\ \mathrm{kpsi}, o elemento irá falhar; se sim, determinar o número de ciclos correspondente.
Obs.: vou usar o procedimento clássico “fator de Marin” (fatores de superfície, tamanho, carregamento, temperatura, confiabilidade) aplicado ao limite de fadiga de referência \displaystyle S_e' = 0{,}5\,S_u (valor usual para a resistência à fadiga em flexão rotativa para aços). Vou explicar cada fator e calcular numericamente. Também vou montar uma expressão prática da curva S-N (forma de Basquin entre 10^3 e 10^6 ciclos) e aplicar os fatores para obter a curva corrigida; com ela vou determinar a vida para \,40\\ \mathrm{kpsi}.
Passo 2
Breve aula: o que é o limite de fadiga e como aplicamos correções
Para muitos aços, uma boa estimativa inicial do “limite de fadiga” não corrigido (para flexão rotativa) é
S_e' = 0{,}5\,S_u.
Aqui S_u é a resistência à tração à tração última e S_e' é a resistência à fadiga do material em condição ideal (pequena amostra, superfície perfeita, diâmetro pequeno, carregamento em flexão rotativa).
Na prática, a resistência à fadiga real é influenciada por vários fatores: acabamento de superfície, tamanho da peça, tipo de carregamento (flexão, tração, torção), temperatura, confiabilidade desejada etc. Cada um desses é representado por um fator multiplicativo k_i. O limite de fadiga corrigido é
S_e = k_a\,k_b\,k_c\,k_d\,k_e\,S_e',
onde:
k_a = fator de superfície;
k_b = fator de tamanho (diâmetro);
k_c = fator de carregamento (bending, axial, torsion);
k_d = fator de temperatura;
k_e = fator de confiabilidade (reliability);
(às vezes há um k_f de acabamento de processo, aqui não o usamos separadamente).
Vou agora calcular cada um desses k com as fórmulas e tabelas usuais (Shigley / Marin). Explicarei a origem/forma de cada fórmula antes de usar.
Passo 3
Fator de superfície k_a (acabamento retificado)
Fórmula empírica (Marin / Shigley) para acabamento “ground / retificado”:
k_a = a\,S_u^{\,b},
onde, para superfície retificada, usamos a=1{,}58 e b=-0{,}085. Aqui S_u em \mathrm{kpsi}.
Portanto k_b \approx 0{,}817. (Interpretação: peças maiores tendem a ter menor resistência à fadiga por defeitos volumétricos; aqui o fator reduz a resistência.)
Passo 5
Fator de carregamento k_c (torção)
O fator de carregamento depende do tipo de solicitação. Valores típicos adotados:
Interpretação: o limite de fadiga corrigido da peça (para torção, com os fatores dados) é aproximadamente 21{,}15\\ \mathrm{kpsi}. Este é o valor da amplitude de tensão que, se for alternada e tiver média nula, produziria vida “teoricamente infinita” (ou critério de run-out) segundo o critério adotado (1e6 ciclos típico).
Passo 9
Construção do diagrama S-N prático (forma utilizada)
Aula curta: Uma forma prática de representar a curva S-N é usar dois pontos de referência no comportamento em tensão alternada:
Para N_1 = 10^3 ciclos normalmente usa-se S_{1} \approx 0{,}9\,S_u (região de baixo ciclo ainda com boa resistência).
Para N_2 = 10^6 ciclos usa-se S_{2} = S_e' (o limite de fadiga não corrigido).
Entre esses pontos assume-se uma lei de potência (Basquin) do tipo
N \approx 0{,}558\times 10^{3} \approx 558\\ \text{ciclos}.
Interpretação e observações finais:
O cálculo indica que, para essa tensão alternada de 40\\ \mathrm{kpsi}, a peça falharia após aproximadamente N\approx 5{,}6\times 10^{2} ciclos (cerca de 558 ciclos).
Observação importante (didática / de cautela): o modelo que usei assume que a curva S-N segue a lei de potência entre 10^{3} e 10^{6} ciclos e que os fatores de Marin escalam uniformemente essa curva. Aqui o resultado de N caiu abaixo de 10^{3}; portanto estamos extrapolando um pouco para a região de baixo ciclo — o valor obtido é uma estimativa razoável, mas em regimes de baixíssimo ciclo outros mecanismos (plasticidade, padrões locais) podem alterar a vida real. Apesar disso, o resultado deixa claro a conclusão prática: a peça NÃO aguenta vida longa com 40\\ \mathrm{kpsi} e tem vida muito curta (ordem de centenas de ciclos).
Resposta
Limite de fadiga corrigido: S_e \approx 21{,}15\\ \mathrm{kpsi}.
Irá falhar para 40\\ \mathrm{kpsi}? Sim.
Número de ciclos aproximado até falha: N \approx 5{,}58\times 10^{2} (aprox. 558 ciclos).