Ar a 6,5 \mathrm{MPa} e 505^{\circ} \mathrm{C} entra, com baixa velocidade, em um bocal adiabático, saindo a 200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerando que a eficiência isentrópica do bocal é de 85 \%, determine (a) a temperatura do ar na saída do bocal e (b) a velocidade máxima que o ar pode atingir na saida do bocal. Respostas: (a) \mathbf{T}_{2 r}=486,7^{\circ} \mathrm{C}; (b) \mathbf{V}_{2 \max }=216,9 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo de forma clara):
  • Dados fornecidos:
    • Pressão do ar na entrada: P_1=6{,}5\\ \mathrm{MPa}.
    • Temperatura do ar na entrada: T_1=505^\circ\mathrm{C}.
    • Velocidade de entrada: velocidade baixa \Rightarrow V_1\approx0.
    • Bocal adiabático (sem troca de calor).
    • Velocidade de saída real conhecida: V_2=200\\ \mathrm{m/s}.
    • Eficiência isentrópica do bocal: \eta_n=85\% = 0{,}85.
  • O que se pede:
    • (a) determinar a temperatura do ar na saída real do bocal T_{2r} (em °C);
    • (b) determinar a velocidade máxima possível (isto é, a velocidade que seria obtida num processo isentrópico ideal) V_{2\max}.

Passo 2

Princípio físico e fórmula básica (explicação didática e simples):
  • Para um escoamento estacionário e adiabático, a equação de energia por massa, desprezando variação de energia potencial e com V_1 pequeno, é
h_1 = h_2 + \frac{V_2^2}{2},
onde h é a entalpia específica e V é a velocidade (unidades: \mathrm{J/kg} para entalpia, \mathrm{m/s} para velocidade).
  • Para ar tratado como gás perfeito com calor específico a pressão c_p (aproximação usual), vale h=c_p T. Substituindo,
c_p T_1 = c_p T_2 + \frac{V_2^2}{2}.
  • Isolando T_2:
T_2 = T_1 - \frac{V_2^2}{2 c_p}.
Explicando as variáveis:
  • T_1 e T_2 são temperaturas absolutas em kelvin ( \mathrm{K});
  • V_2 em \mathrm{m/s};
  • c_p em \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    Observação importante (didática): c_p do ar depende da temperatura. Em problemas com temperaturas elevadas é melhor usar um c_p médio correspondente à temperatura média do processo (ou tabelas/diagramas). Vou fazer uma iteração simples para obter c_p médio e chegar à temperatura correta.

Passo 3

Conversões iniciais e primeira aproximação (iterativa, explico por que):
  • Converter T_1 para kelvin:
T_1 = 505^\circ\mathrm{C} = 505 + 273{,}15 = 778{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Primeira aproximação usando c_p à temperatura ambiente típico: c_{p,0}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Calcular a redução de temperatura:
\Delta T = \frac{V_2^2}{2 c_{p,0}} = \frac{(200)^2}{2\cdot1005} = \frac{40000}{2010} \approx 19{,}9005\\ \mathrm{K}.
  • Assim a primeira estimativa de T_2 (em kelvin) é
T_{2}^{(1)} = 778{,}15 - 19{,}9005 \approx 758{,}25\\ \mathrm{K},
que em Celsius é T_{2}^{(1)} \approx 485{,}10^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Ajuste pelo c_p dependente da temperatura (explicação prática):
  • Como T ficou alta (cerca de 758\\ \mathrm{K}), o c_p real do ar é maior que 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. A prática é usar um c_p médio avaliado na temperatura média do processo:
T_{\mathrm{média}} \approx \frac{T_1 + T_{2}^{(1)}}{2} \approx \frac{778{,}15 + 758{,}25}{2} \approx 768{,}2\\ \mathrm{K}.é
  • Consultando tabelas de propriedades do ar (ou equações polinomiais de c_p(T)) para T na faixa \sim 770\\ \mathrm{K}, obtém‑se aproximadamente
c_{p,\mathrm{média}} \approx 1{,}093\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 1093\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.é
(Comentário didático: esse valor vem de tabelas de propriedades termodinâmicas do ar; é comum em exercícios de termodinâmica ajustar c_p por temperatura média.)
  • Recalcular com esse c_{p,\mathrm{média}}é:
\Delta T = \frac{V_2^2}{2 c_{p,\mathrm{média}}} = \frac{40000}{2\cdot1093} = \frac{40000}{2186} \approx 18{,}31\\ \mathrm{K}.é
T_{2r} = T_1 - \Delta T = 778{,}15 - 18{,}31 \approx 759{,}84\\ \mathrm{K}.
  • Converter para Celsius:
T_{2r} = 759{,}84\\ \mathrm{K} - 273{,}15 \approx 486{,}69^\circ\mathrm{C} \approx 486{,}7^\circ\mathrm{C}.
Comentário final sobre a parte (a): esse valor coincide com a resposta apresentada no enunciado. A diferença em relação à primeira aproximação veio de usar o c_p apropriado à temperatura elevada.

Passo 5

Cálculo da velocidade máxima isentrópica (parte b) — definição e aplicação:
  • Definição de eficiência isentrópica do bocal (forma prática usada em escoamentos compressíveis/incompressíveis):
\eta_n \equiv \frac{h_1 - h_2}{h_1 - h_{2s}},
onde h_{2s} é a entalpia de saída no processo isentrópico ideal entre os mesmos estados de pressão. Usando h=c_p T e a relação entre perdas de entalpia e velocidades (energia cinética),
h_1 - h_2 = \frac{V_2^2}{2},\qquad h_1 - h_{2s} = \frac{V_{2s}^2}{2}.
  • Substituindo na definição de eficiência:
\eta_n = \frac{\tfrac{V_2^2}{2}}{\tfrac{V_{2s}^2}{2}} = \frac{V_2^2}{V_{2s}^2}.
  • Isolando V_{2s} (velocidade isentrópica máxima possível para o mesmo salto de entalpia):
V_{2s} = \frac{V_2}{\sqrt{\eta_n}}.
  • Aplicando números:
V_{2\max} = \frac{200}{\sqrt{0{,}85}} = \sqrt{\frac{200^2}{0{,}85}} = \sqrt{\frac{40000}{0{,}85}} \approx 216{,}9\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: interpretar isso assim — com as irreversibilidades (eficiência <1) parte da “capacidade” de converter entalpia em velocidade se perde; um bocal ideal (isentópico) com as mesmas condições de entrada poderia acelerar o fluido até cerca de 216{,}9\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) T_{2r}=486{,}7^\circ\mathrm{C}
(b) V_{2\max}=216{,}9\\ \mathrm{m/s}

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