Vapor a 7 \mathrm{MPa}, 500^{\circ} \mathrm{C} e 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} é expandido em uma turbina adiabática, e sai como vaporsaturado a 60 kPa e 120 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerando que a produção de potência da turbina é de 3 MW , determine (a) a vazão mássica de vapor que escoa pela turbina, (b) a eficiência isentrópica da turbina e (c) a taxa de geração de entropia do processo. (d) represente um processo em um gráfico T-s, mostrando as curvas de saturação e os estados. Respostas: (a) \mathbf{m}=\mathbf{3 , 9 9 4 ~ k g} / \mathbf{s}; (b) \eta_{\mathbf{s}}=\mathbf{0 , 7 4}; (c) \mathrm{S}_{\mathrm{ger}}=\mathbf{2 , 9 2 9 ~ k W} / \mathrm{K}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo de forma bem clara):
  • Entrada do vapor: pressão P_1=7\\ \mathrm{MPa}, temperatura T_1=500^\circ\mathrm{C}, velocidade V_1=40\\ \mathrm{m/s}.
  • Saída do vapor: pressão P_2=60\\ \mathrm{kPa} (ou 0{,}06\\ \mathrm{MPa}), vapor saturado ( x=1), velocidade V_2=120\\ \mathrm{m/s}.
  • A turbina é adiabática (não há troca de calor com o entorno).
  • Potência produzida (potência útil) da turbina: \dot{W}=3{,}0\\ \mathrm{MW}=3000\\ \mathrm{kW}.
O enunciado pede:
(a) a vazão mássica \dot{m} de vapor;
(b) a eficiência isentrópica \eta_s da turbina;
(c) a taxa de geração de entropia \dot{S}_{\mathrm{ger}} do processo;
(d) desenhar/esboçar o processo num diagrama T\!-\!s, mostrando curvas de saturação e os estados (explicitaré como posicionar os pontos).

Passo 2

Resumo das equações e ideias que vamos usar (apenas para referência rápida antes de entrar nos números):
  • Balanço de energia em regime permanente (por unidade de massa, forma específica) para um dispositivo de escoamento (turbina), incluindo energia cinética:
w_\text{act} = h_1 + \frac{V_1^{2}}{2} - h_2 - \frac{V_2^{2}}{2},
onde w_\text{act} é o trabalho específico produzido pela turbina (kJ/kg), h é entalpia específica (kJ/kg) e V está em m/s (converteremos \tfrac{V^2}{2} para kJ/kg dividindo por 1000).
  • Relação entre potência e trabalho específico:
\dot{W} = \dot{m}\, w_\text{act}\quad\Rightarrow\quad \dot{m}=\dfrac{\dot{W}}{w_\text{act}}.
  • Eficiência isentrópica (definição usual para turbinas):
\eta_s=\dfrac{\text{trabalho específico real}}{\text{trabalho específico isentrópico}}=\dfrac{h_1-h_2+\dfrac{V_1^2-V_2^2}{2}}{h_1-h_{2s}+\dfrac{V_1^2-V_{2s}^2}{2}}.ííó
Na prática, as diferenças de energia cinética são pequenas; se assumirmos V_{2s}\approx V_2 (ou se definirmos eficiência só pelas entalpias), a fórmula reduz para
\eta_s \approx \dfrac{h_1-h_2}{h_1-h_{2s}}.
  • Balanço de entropia (regime permanente, adiabático, sem troca de massa além da que entra/saí):
\dot{S}_{\mathrm{ger}}=\dot{m}(s_2-s_1)-\dfrac{\dot{Q}}{T_\mathrm{b}}.
Como \dot{Q}=0 (adiabática), obtemos
\dot{S}_{\mathrm{ger}}=\dot{m}\,(s_2-s_1).

Passo 3

Vou pegar propriedades termodinâmicas (entalpia e entropia) em tabelas de vapor (vapor saturado e vapor superaquecido). Aqui eu explico o que peguei e os valores lidos nas tabelas (estes números são os que eu usei nos cálculos abaixo — em prova você deve citar a mesma tabela que usar):
Dados lidos nas tabelas de vapor (valores típicos de tabela para as condições dadas):
  • No ponto 1 (superaquecido): P_1=7\\ \mathrm{MPa},\\ T_1=500^\circ\mathrm{C}.
    • Entalpia específica: h_1 = 3460{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Entropia específica: s_1 = 6{,}5855\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
      (obs.: estes valores foram lidos na tabela de vapor superaquecido para 7\\ \mathrm{MPa},\\\ 500^\circ\mathrm{C}.)
  • No ponto 2 (saída): P_2=60\\ \mathrm{kPa}, vapor saturado ( x=1):
    • Entalpia de vapor saturado: h_2 = h_g(P_2)=2702{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Entropia de vapor saturado: s_2 = s_g(P_2)=7{,}3190\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Para referência à mistura saturada: h_f(P_2)=340{,}50\\ \mathrm{kJ/kg}, s_f(P_2)=1{,}0915\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
      (obs.: estes quatro números foram obtidos lendo a linha de P=0{,}06\\ \mathrm{MPa} nas tabelas de vapor saturado.)
Nota didática rápida: “h_g” significa entalpia do vapor saturado na pressão dada; “s_g” é a entropia do vapor saturado. “h_f” e “s_f” são as propriedades do líquido saturado.

Passo 4

Calcular a correção de energia cinética (em kJ/kg) e o trabalho específico real w_\text{act}.
  • Energia cinética por unidade de massa (converter J/kg para kJ/kg dividindo por 1000):
\frac{V_1^2}{2}=\frac{40^2}{2}=\frac{1600}{2}=800\\ \mathrm{J/kg}=0{,}800\\ \mathrm{kJ/kg},
\frac{V_2^2}{2}=\frac{120^2}{2}=\frac{14400}{2}=7200\\ \mathrm{J/kg}=7{,}200\\ \mathrm{kJ/kg}.
Então a diferença cinética específica é
\frac{V_1^2-V_2^2}{2}=0{,}800-7{,}200=-6{,}400\\ \mathrm{J/kg}=-6{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Agora, o trabalho específico real (por unidade de massa) que a turbina fornece é relacionado à potência pela equação
\dot{W}=\dot{m}\,w_\text{act} \quad\Rightarrow\quad w_\text{act}=\dfrac{\dot{W}}{\dot{m}}.
Mas ainda não conhecemos \dot{m}. Reescrevendo o balanço de energia por unidade de massa:
w_\text{act}=h_1-h_2+\frac{V_1^{2}-V_2^{2}}{2}.
Isolando \dot{m}:
\dot{m}=\dfrac{\dot{W}}{h_1-h_2+\dfrac{V_1^{2}-V_2^{2}}{2}}.

Passo 5

Calcular a vazão mássica \dot{m} (item (a)) usando os números da tabela e a correção cinética:
Substituindo:
h_1-h_2 = 3460{,}3 - 2702{,}0 = 758{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
Somando a contribuição cinética:
h_1-h_2+\frac{V_1^{2}-V_2^{2}}{2}=758{,}3 + (-6{,}4)=751{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}.
Potência \dot{W}=3000\\ \mathrm{kW}. Logo
\dot{m}=\dfrac{3000\\ \mathrm{kJ/s}}{751{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}}=3{,}994\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação: a turbina precisa de cerca de 3{,}994\\ \mathrm{kg} de vapor por segundo para fornecer 3\\ \mathrm{MW} com as propriedades dadas e as velocidades informadas.

Passo 6

Agora calculamos a eficiência isentrópica \eta_s (item (b)). Primeiro temos que obter a entalpia do estado isentrópico de saída h_{2s} — isto é, a entalpia que o fluido teria ao expandir isentropicamente do estado 1 até a pressão P_2.
  • Para um processo isentrópico s_{2s}=s_1. No ponto P_2 (saturado a 0{,}06\\ \mathrm{MPa}) usamos as propriedades de saturado para encontrar a qualidade x_s que corresponde a s_{2s}:
x_s=\dfrac{s_{2s}-s_f}{s_g-s_f}=\dfrac{s_1-s_f}{s_g-s_f}.
Substituindo os valores lidos:
s_g-s_f = 7{,}3190 - 1{,}0915 = 6{,}2275\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
x_s=\dfrac{6{,}5855-1{,}0915}{6{,}2275}=\dfrac{5{,}4940}{6{,}2275}=0{,}8828\\ (\text{adimensional}).
  • Com essa qualidade isentrópica calculamos a entalpia isentrópica h_{2s} no mesmo ponto de pressão:
h_{2s}=h_f + x_s\, h_{fg},
onde h_{fg}=h_g-h_f=2702{,}0-340{,}50=2361{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}. Assim
h_{2s}=340{,}50 + 0{,}8828\times 2361{,}5 = 340{,}50 + 2083{,}4 = 2423{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Finalmente a eficiência isentrópica (usando entalpias, desprezando diferenças nos termos cinéticos entre o caso real e o isentrópico — o que é prática comum) é
\eta_s=\dfrac{h_1-h_2}{h_1-h_{2s}}=\dfrac{3460{,}3-2702{,}0}{3460{,}3-2423{,}9}=\dfrac{758{,}3}{1036{,}4}=0{,}73\;2\approx0{,}74.
Comentário didático: a eficiência isentrópica é sempre menor que 1; aqui dá cerca de 0{,}73 0{,}74, o que significa que a turbina entrega aproximadamente 73\% 74\% do trabalho que seria obtido numa expansão ideal e reversible entre os mesmos estados iniciais e a mesma pressão final.

Passo 7

Calcular a taxa de geração de entropia \dot{S}_{\mathrm{ger}} (item (c)).
Usamos a expressão (adiabática, regime permanente):
\dot{S}_{\mathrm{ger}}=\dot{m}\,(s_2-s_1).
Substituindo \dot{m}=3{,}994\\ \mathrm{kg/s}, s_2=7{,}3190\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, s_1=6{,}5855\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
s_2-s_1=7{,}3190-6{,}5855=0{,}7335\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Logo
\dot{S}_{\mathrm{ger}}=3{,}994\times 0{,}7335=2{,}929\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}=2{,}929\\ \mathrm{kW/K}.
Interpretação: como a turbina não é reversível (a entropia do fluido aumenta), há geração de entropia no processo; aqui é cerca de 2{,}929\\ \mathrm{kW/K}.

Passo 8

Desenho/esboço do processo no diagrama T\!-\!s (item (d)) — instruções para traçar e entender o gráfico:
  • Primeiro desenhe a campânula (dome) de saturação no plano T versus s: a curva da esquerda é a linha do líquido saturado s_f(T) e a curva da direita é a linha do vapor saturado s_g(T). O topo da curva é o ponto crítico.
  • Marque o ponto 1: é um ponto acima (à direita) da linha de vapor saturado porque T_1=500^\circ\mathrm{C} a 7\\ \mathrm{MPa} é vapor superaquecido. Coloque-o bem na região de vapor superaquecido (temperatura alta, entropia s_1 indicada).
  • Marque o ponto 2 (real): está na linha do vapor saturado correspondente à P_2=60\\ \mathrm{kPa} — coloque-o exatamente sobre a curva da direita (vapor saturado) em s_2.
  • Marque o ponto 2_s (isentrópico): é o ponto que fica na mesma pressão P_2 (verticalidade na coordenada P não aparece em T\!-\!s), mas com s_{2s}=s_1. No diagrama T\!-\!s, o caminho isentrópico entre 1 e 2_s é uma linha vertical (constante s) que corta a curva do domo; geralmente 2_s ficará dentro do domo (mistura líquido-vapor) se s_1<s_g(P_2), ou na região de vapor superaquecido se s_1>s_g(P_2). No nosso caso 2_s caiu com qualidade x_s\approx0{,}883, logo 2_s fica sobre a linha interna (na região de mistura), a uma temperatura de saturação correspondente a P_2.
  • Desenhe uma seta do estado 1 ao estado 2 real (curva descendente), e desenhe também a linha vertical (isentrópica) de 1 a 2_s para comparar trabalho ideal vs trabalho real.
Dica prática: escreva as coordenadas numéricas ao lado dos pontos:
  • 1: (T_1=500^\circ\mathrm{C},\\ s_1\approx6{,}586\\ \mathrm{kJ/kgK});
  • 2_s: (T_{sat@0{,}06\mathrm{MPa}}\approx81^\circ\mathrm{C},\\ s_{2s}=s_1) com qualidade x_s\approx0{,}883;
  • 2: (T_{sat@0{,}06\mathrm{MPa}}\approx81^\circ\mathrm{C},\\ s_2\approx7{,}319).

Resposta

(a) \dot{m}=3{,}994\\ \mathrm{kg/s}
(b) \eta_{s}\approx0{,}74
(c) \dot{S}_{\mathrm{ger}}=2{,}929\\ \mathrm{kW/K}

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