3^{\mathrm{a}} Questão: Uma amostra de 0,5 \mathrm{~kg} de um gás ideal está contida em um conjunto cilindro-pistão com mola. Inicialmente, o gás a 300 K ocupa um volume de 0,1 \mathrm{~m}^{3} e o pistão está encostado na mola. O gás é então aquecido até que a temperatura atinja 650 K . Sabendo que a constante da mola é 1500 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e que a pressão inicial é 100 kPa , calcule o calor transferido durante o processo. O diâmetro do pistão é igual 1,0 \mathrm{~m}. Considere calores específicos constantes ( \mathrm{c}_{\mathrm{v}}=0,717 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}-\mathrm{K} )
a) 151 kJ
b) 100 kJ
c) 126 kJ
d) 75 kJ
e) 176 kJ

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de massa m=0{,}5\:\mathrm{kg} de gás ideal, inicialmente em T_{1}=300\:\mathrm{K}, V_{1}=0{,}1\:\mathrm{m}^{3} e P_{1}=100\:\mathrm{kPa}. O gás está num cilindro com pistão de diâmetro D=1{,}0\:\mathrm{m} encostado numa mola de constante k=1500\:\mathrm{N/m}. Aquecemos até T_{2}=650\:\mathrm{K} e queremos o calor Q transferido. Usamos:
  1. Equilíbrio do gás ideal em cada estado,
  2. Força da mola F=k\,x com x=(V-V_{1})/A, onde A=\pi (D/2)^{2},
  3. Trabalho do gás W=\displaystyle\int P\,dV,
  4. 1ª Lei: Q=\Delta U+W com \Delta U=m\,c_{v}(T_{2}-T_{1}).

Passo 2

Área do pistão
A = \pi\bigl(\tfrac{1{,}0}{2}\bigr)^{2} =0{,}7854\:\mathrm{m}^{2}.
Constante “pressão” da mola por volume:
\alpha=\frac{k}{A^{2}} =\frac{1500}{(0{,}7854)^{2}} \approx2432\:\mathrm{Pa}/\mathrm{m}^{3}.
Em equilíbrio final valem duas equações:
P_{2}V_{2}=mR\,T_{2},\quad P_{2}=P_{1}+\alpha\,(V_{2}-V_{1}).
Como mR=P_{1}V_{1}/T_{1}, podemos eliminar mR e achar \Delta V=V_{2}-V_{1}.

Passo 3

Montamos a equação em \Delta V=x:
\bigl(P_{1}+\alpha x\bigr)\bigl(V_{1}+x\bigr) =\frac{P_{1}V_{1}T_{2}}{T_{1}}.
Substituindo valores numéricos
100000+2432\,x \quad\text{e}\quad V_{1}=0{,}1,
obtém-se solução positiva
\Delta V\approx0{,}1159\:\mathrm{m}^{3}, \quad V_{2}=0{,}2159\:\mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Trabalho do gás
W =\int_{V_{1}}^{V_{2}}\Bigl[P_{1}+\alpha(V-V_{1})\Bigr]\,dV =P_{1}\,\Delta V+\frac{\alpha}{2}\,(\Delta V)^{2}.
Numericamente
W =100000\cdot0{,}1159 +\frac{2432}{2}\,(0{,}1159)^{2} \approx11459+16\approx11475\:\mathrm{J} \approx11{,}48\:\mathrm{kJ}.

Passo 5

Variação de energia interna
\Delta U =m\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}) =0{,}5\cdot0{,}717\,(650-300) \approx125{,}48\:\mathrm{kJ}.

Passo 6

Calor transferido
Q=\Delta U+W \approx125{,}48+11{,}48 \approx136{,}96\:\mathrm{kJ}.

Resposta

O calor transferido durante o processo é aproximadamente
Q\approx137\:\mathrm{kJ}.

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