16.7 Determine a carga critica para um tarugo de madeira redondo de 1,2 \mathrm{~m} de comprimento e diämetro de (a) 10 mm. Use E=12 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado pede a carga crítica de flambagem (Euler) de um tarugo cilíndrico de madeira com comprimento L=1{,}2\\ \mathrm{m} e diâmetro d=10\\ \mathrm{mm}, usando módulo de Young E=12\\ \mathrm{GPa}. Vamos supor condições de contorno bi-articuladas (pinos em ambas as extremidades), para as quais o comprimento efetivo é L_e=L.

Passo 2

A fórmula de Euler para carga crítica em uma coluna bi-articulada é
P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2\,E\,I}{L^2}\,,
onde I é o segundo momento de área da seção transversal.

Passo 3

Para uma seção circular de diâmetro d, o segundo momento de área vale
I = \frac{\pi\,d^4}{64}\,.

Passo 4

Convertemos o diâmetro para metros: d=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m}. Então
I = \frac{\pi\,(0{,}01)^4}{64} = \frac{\pi \times 1{,}0\times10^{-8}}{64} \approx 4,91\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^4\,.

Passo 5

Substituindo na fórmula de Euler:
P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2 \times (12\times10^9\\ \mathrm{Pa}) \times (4,91\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^4)}{(1{,}2\\ \mathrm{m})^2}\,.
Calculando numericamente, obtém-se
P_{\mathrm{cr}}\approx \frac{9{,}8696 \times 12\times10^9 \times 4,91\times10^{-10}}{1{,}44} \approx 4,0\times10^1\\ \mathrm{N}\,.

Resposta

P_{\mathrm{cr}}\approx 4,0\times10^1\\ \mathrm{N}