Um mol de etano 25^{\circ} \mathrm{C} e 1,0 \mathrm{~atm} é aquecido até 1200^{\circ} \mathrm{C} a pressão constante. Assumindo o comportamento ideal, calcule o valor de w, q, \overline{\Delta U} e \overline{\Delta H} para o processo, dada a capacidade calorífica molar a pressão constante do etano:
\begin{aligned} \bar{C}_{P} / R=0.06436 & +\left(2.137 \times 10^{-2} \mathrm{~K}^{-1}\right) T \\ & -\left(8.263 \times 10^{-6} \mathrm{~K}^{-2}\right) T^{2}+\left(1.024 \times 10^{-9} \mathrm{~K}^{-3}\right) T^{3} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas:
  • Quantidade de substância: n=1 mol de etano.
  • Condições iniciais e finais de temperatura: temperatura inicial 25^{\circ}\mathrm{C} e final 1200^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pressão constante: P=1{,}0\\ \mathrm{atm} (processo a P constante).
  • Comportamento ideal (gás ideal).
  • Capacidade calorífica molar a pressão constante fornecida por:
\frac{\bar{C}_{P}(T)}{R}=0{,}06436+\left(2{,}137\times10^{-2}\\ \mathrm{K}^{-1}\right)T -\left(8{,}263\times10^{-6}\\ \mathrm{K}^{-2}\right)T^{2}+\left(1{,}024\times10^{-9}\\ \mathrm{K}^{-3}\right)T^{3}.
O que nos pedem calcular:
  • w (trabalho realizado pelo sistema) para o aquecimento a pressão constante;
  • q (calor trocado) no processo;
  • \overline{\Delta U} (variação molar da energia interna);
  • \overline{\Delta H} (variação molar da entalpia).

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  1. Relação entre energia interna e entalpia para gases ideais:
\Delta H = \int_{T_{1}}^{T_{2}}\bar{C}_{P}(T)\,dT,
\Delta U = \int_{T_{1}}^{T_{2}}\bar{C}_{V}(T)\,dT.
Para um gás ideal vale \bar{C}_{P}-\bar{C}_{V}=R. Logo, para 1 mol,
\Delta U=\Delta H - R\Delta T.
(Explicação: \Delta H=\Delta U+\Delta(nRT) e para n=1 obtemos \Delta H=\Delta U+R\Delta T.)
  1. Calor a pressão constante:
q_{P}=\Delta H
(Explicação: por definição, o calor trocado a pressão constante é a variação de entalpia.)
  1. Trabalho a pressão constante (para processo reversível ideal ou qualquer processo a pressão constante externa igual à pressão do gás):
w=-P_{\text{ext}}\Delta V.
Para gás ideal e n=1:
\Delta V=\frac{R\Delta T}{P},
logo, se P_{\text{ext}}=P,
w=-R\Delta T.
(Explicação: para gás ideal PV=RT para 1 mol, então V varia com T e o trabalho é -\int P\,dV = -P\Delta V.)
Portanto, nosso plano prático:
  • Calcular \Delta T convertendo temperaturas para Kelvin.
  • Calcular \Delta H=\int_{T_{1}}^{T_{2}}\bar{C}_{P}(T)\,dT usando a expressão dada para \bar{C}_{P}(T)=R\cdot(\text{polinômio})ô.
  • Obter q=\Delta H.
  • Calcular w=-R\Delta T.
  • Calcular \Delta U=\Delta H - R\Delta T.

Passo 3

Converter temperaturas para Kelvin e calcular \Delta T:
  • Temperatura inicial:
T_{1}=25^{\circ}\mathrm{C}=25+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura final:
T_{2}=1200^{\circ}\mathrm{C}=1200+273{,}15=1473{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Diferença:
\Delta T=T_{2}-T_{1}=1473{,}15-298{,}15=1175{,}00\\ \mathrm{K}.
Adotamos a constante dos gases ideais:
R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 4

Escrever a integral para \overline{\Delta H} usando a forma fornecida:
Temos \bar{C}_{P}(T)=R\cdot\left[a+bT+cT^{2}+dT^{3}\right] com
a=0{,}06436,\quad b=2{,}137\times10^{-2},\quad c=-8{,}263\times10^{-6},\quad d=1{,}024\times10^{-9}.
Logo
\overline{\Delta H}=\int_{T_{1}}^{T_{2}}\bar{C}_{P}(T)\,dT =R\int_{T_{1}}^{T_{2}}\left(a+bT+cT^{2}+dT^{3}\right)\,dT.
Integramos termo a termo:
\int_{T_{1}}^{T_{2}} a\,dT = a\,(T_{2}-T_{1}),
\int_{T_{1}}^{T_{2}} bT\,dT = \frac{b}{2}\left(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}\right),
\int_{T_{1}}^{T_{2}} cT^{2}\,dT = \frac{c}{3}\left(T_{2}^{3}-T_{1}^{3}\right),
\int_{T_{1}}^{T_{2}} dT^{3}\,dT = \frac{d}{4}\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right).
Portanto
\frac{\overline{\Delta H}}{R} = a\Delta T + \frac{b}{2}\left(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}\right) + \frac{c}{3}\left(T_{2}^{3}-T_{1}^{3}\right) + \frac{d}{4}\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right).

Passo 5

Calcular numericamente cada termo (mostrando os passos de conta):
Já temos \Delta T=1175{,}00\\ \mathrm{K}, T_{1}=298{,}15\\ \mathrm{K}, T_{2}=1473{,}15\\ \mathrm{K}.
  1. Primeiro termo:
a\Delta T = 0{,}06436\times1175{,}00 = 75{,}623\\ (\text{unidade adimensional, pois foi dividido por }R).
  1. Segundo termo:
T_{2}^{2}-T_{1}^{2}=(T_{2}-T_{1})(T_{2}+T_{1})=\Delta T\,(T_{2}+T_{1}) =1175{,}00\times(1473{,}15+298{,}15)=1175{,}00\times1771{,}30 =2\,081\,277{,}500.
\frac{b}{2}\left(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}\right) =0{,}010685\times2\,081\,277{,}500\approx22\,238{,}450.
  1. Terceiro termo:
    Calculemos T_{2}^{3}-T_{1}^{3}=\Delta T\left(T_{2}^{2}+T_{2}T_{1}+T_{1}^{2}\right).
    Já temos T_{1}^{2}=88\,893{,}4225, T_{2}^{2}=2\,170\,170{,}9225 e T_{2}T_{1}=439\,220{,}6725.
T_{2}^{3}-T_{1}^{3}=1175{,}00\times\bigl(2\,170\,170{,}9225+439\,220{,}6725+88\,893{,}4225\bigr) \approx1175{,}00\times2\,698\,285{,}0175 \approx3\,170\,484\,895{,}5625.
\frac{c}{3}\left(T_{2}^{3}-T_{1}^{3}\right) =\left(-2{,}754333333\times10^{-6}\right)\times3\,170\,484\,895{,}5625 \approx-8\,732{,}57223.
  1. Quarto termo:
    Calculemos T_{2}^{4}-T_{1}^{4}=(T_{2}^{2}-T_{1}^{2})(T_{2}^{2}+T_{1}^{2}).
    Já temos T_{2}^{2}-T_{1}^{2}=2\,081\,277{,}500 e T_{2}^{2}+T_{1}^{2}=2\,259\,064{,}345.
T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\approx2\,081\,277{,}500\times2\,259\,064{,}345 \approx4{,}701{,}739{,}759{,}500{,}7.
\frac{d}{4}\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right) =2{,}56\times10^{-10}\times4{,}701{,}739{,}759{,}500{,}7 \approx1\,203{,}645{,}3784 \times10^{-0}\approx1\,203{,}645{,}3784\\ \text{(adimensional ao dividir por }R).
(Observação sobre escala: os termos quadrático e cúbico em T dominam; os números são grandes — por isso trabalhar com notação e com cuidado nas multiplicações.)
  1. Somando os quatro termos (todos na forma \overline{\Delta H}/R):
\frac{\overline{\Delta H}}{R} \approx75{,}623 +22\,238{,}450 -8\,732{,}57223 +1\,203{,}645{,}3784 \approx14\,785{,}146148.

Passo 6

Multiplicar pelo valor de R para obter \overline{\Delta H} em J·mol^{-1}:
\overline{\Delta H}=R\times\frac{\overline{\Delta H}}{R} =8{,}314462618\times14\,785{,}146148 \approx122\,930{,}5449\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Arredondando de forma razoável:
\overline{\Delta H}\approx122\,930{,}5\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}=122{,}93\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 7

Calcular o trabalho w a pressão constante para 1 mol:
w=-R\Delta T=-8{,}314462618\times1175{,}00\approx-9\,769{,}4936\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
w\approx-9\,769{,}5\\ \mathrm{J}=-9{,}769{,}5\\ \mathrm{J}\approx-9{,}77\\ \mathrm{kJ}.

Passo 8

Calcular \overline{\Delta U} usando \overline{\Delta U}=\overline{\Delta H}-R\Delta T:
\overline{\Delta U}=122\,930{,}5449\\ \mathrm{J} - 9\,769{,}4936\\ \mathrm{J} \approx113\,161{,}0513\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Arredondando:
\overline{\Delta U}\approx113\,161{,}1\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}=113{,}16\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 9

Relacionando calor q e entalpia no processo a pressão constante:
q_{P}=\Delta H \Rightarrow q=\overline{\Delta H}\\ (\text{para }n=1\\ \text{mol}).
Portanto q\approx122\,930{,}5\\ \mathrm{J}=122{,}93\\ \mathrm{kJ}.
(Reforço didático: os sinais têm significado físico — w<0 indica trabalho realizado pelo sistema sobre a vizinhança; q>0 indica calor absorvido pelo sistema.)

Resposta

w=-9{,}769{,}49\\ \mathrm{J} (aprox. -9{,}77\\ \mathrm{kJ})
q=\overline{\Delta H}=122\,930{,}54\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} (aprox. 122{,}93\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}})
\overline{\Delta U}=113\,161{,}05\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} (aprox. 113{,}16\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}})
\overline{\Delta H}=122\,930{,}54\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} (aprox. 122{,}93\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}})

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