A propriedade \mu_{J T} depende da temperatura e da pressão. No entanto, assumindo o valor médio constante de 0,15 \mathrm{~K} \mathrm{bar}^{-1} para o \mathrm{N}_{2(\mathrm{~g})}, calcule a redução na temperatura se esse gás é submetido à uma diminuição de 200 bar na pressão.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a redução na temperatura quando o gás nitrogênio gasoso sofre uma diminuição de pressão de 200\\ \mathrm{bar}, usando o valor médio constante do coeficiente de Joule–Thomson \mu_{JT}. Dados fornecidos:
  • \mu_{JT} = 0,15\\ \mathrm{K\;bar^{-1}} (valor médio assumido para \mathrm{N_2(g)}),
  • variação de pressão: diminuição de 200\\ \mathrm{bar}, ou seja \Delta P = -200\\ \mathrm{bar}.

Passo 2

O que é \mu_{JT} e como ele se relaciona com a variação de temperatura?
  • Por definição, \mu_{JT} é o coeficiente de Joule–Thomson, dado por \displaystyle \mu_{JT} = \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_H. Isso significa que ele diz quanto a temperatura muda quando a pressão muda, mantendo a entalpia constante.
  • A unidade de \mu_{JT} é \mathrm{K\;bar^{-1}}, ou seja, graus Kelvin por bar.
  • Se \mu_{JT}>0, uma redução de pressão ( \Delta P<0) causa queda de temperatura ( \Delta T<0); se \mu_{JT}<0, a redução de pressão causa aquecimento.

Passo 3

Aproximação linear usada em provas e cálculos rápidos: para variações de pressão não muito grandes ou quando se assume \mu_{JT} aproximadamente constante, podemos usar
\Delta T \approx \mu_{JT}\,\Delta P.
Essa fórmula vem direto da definição diferencial \mathrm{d}T = \mu_{JT}\,\mathrm{d}P integrada assumindo \mu_{JT} constante. Aqui \Delta T tem unidade \mathrm{K} porque \mathrm{K\;bar^{-1}}\times\mathrm{bar}=\mathrm{K}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos na fórmula. Colocando \mu_{JT} = 0,15\\ \mathrm{K\;bar^{-1}} e \Delta P = -200\\ \mathrm{bar}, temos
\Delta T \approx (0,15\\ \mathrm{K\;bar^{-1}})\times(-200\\ \mathrm{bar}).
Faço a multiplicação em duas etapas: 0,15\times200 = 30 e o sinal é negativo por causa de \Delta P. Logo
\Delta T \approx -30\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Interpretação física e comentário prático: \Delta T = -30\\ \mathrm{K} significa que a temperatura diminui em 30\\ \mathrm{K}. Em outras palavras, há uma redução de temperatura de 30\\ \mathrm{K}. Atenção: este é um cálculo aproximado que assume \mu_{JT} constante em toda a variação de pressão; na prática \mu_{JT} depende de temperatura e pressão, então o valor real pode diferir, mas para uma estimativa rápida este resultado é o que se usa em exames.

Resposta

\Delta T = -30\\ \mathrm{K}

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