Derive uma expressão para o trabalho de expansão reversível de um gás de Redlich-Kwong, de um volume molar \overline{V_{1}} até um volume final molar, \overline{V_{2}}.
Passo 1
O enunciado pede: derivar uma expressão para o trabalho de expansão reversível de um gás que obedece a equação de Redlich–Kwong, quando o volume molar varia de \overline{V_{1}} para \overline{V_{2}}.
Informações dadas (que vamos usar):
\text{– o gás obedece a equação de Redlich–Kwong;}áçã
\text{– volumes molares inicial e final: }\overline{V_{1}}\text{ e }\overline{V_{2}}.
Observação necessária (não fornecida no enunciado, mas essencial para definir o caminho): vou assumir que a expansão é reversível e isotérmica à temperatura \,T. Sem especificar a temperatura ou o caminho não é possível integrar P\,d\overline{V}. Se o processo fosse diferente (adiabático, por exemplo), a expressão mudaria. Seguiremos, então, o caso isotérmico reversível.
Passo 2
Lembrando a equação de Redlich–Kwong por molar (uma molécula/1 mol):
R\\ \text{é a constante dos gases}, \qquad a,b\\ \text{são constantes específicas do gás}, \qquad T\\ \text{é a temperatura (constante no processo isotérmico)}.éãíáéé
Para um processo reversível com uma mole, o trabalho feito pelo sistema (convenção termodinâmica usual) é
w_{\text{rev}}=-\int_{\overline{V_{1}}}^{\overline{V_{2}}} P(\bar V,T)\,d\bar V.
Aqui o sinal negativo indica trabalho realizado pelo sistema (expansão).
Passo 3
Substituindo a pressão de Redlich–Kwong dentro do integral:
w_{\text{rev}}=-\int_{\overline{V_{1}}}^{\overline{V_{2}}}\left(\frac{R\,T}{\bar V-b}-\frac{a}{\sqrt{T}\,\bar V(\bar V+b)}\right)d\bar V.
Vamos separar em duas integrais (linearidade do integral):
Note o sinal: o segundo termo do integrando tinha sinal negativo, e o sinal global do integral também é negativo, resultando em sinal positivo na frente do segundo integral.
Comentário didático rápido (para a prova): é bom lembrar que no limite a\to 0 e b\to 0 a equação de Redlich–Kwong vira a equação dos gases ideais. Tomando esse limite na expressão do trabalho, o segundo termo some e o primeiro termo reduz-se a