Um mol de um gás diatômico ideal está contido em um cilindro de volume
temperatura 400 K , e deve ser levado para um estado final
e temperatura 350 K . Um reservatório de calor, de temperatura 300 K e também uma fonte reversivel de trabalho são disponiveis. Qual o trabalho máximo que pode ser obtido ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um mol de um gás diatômico ideal que está num cilindro com volume inicial de
e temperatura inicial de 400 K. Esse gás vai passar para um estado final com volume de
e temperatura de 350 K. Temos também um reservatório de calor a 300 K e uma fonte reversível de trabalho disponível. A pergunta é: qual é o trabalho máximo que podemos obter nesse processo?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente sobre trabalho máximo em processos reversíveis e a relação entre calor, trabalho e energia interna.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho máximo que podemos obter em um processo termodinâmico reversível está relacionado à variação da energia livre de Gibbs (
) ou à energia disponível para trabalho (
). No nosso caso, como temos um reservatório de calor, vamos usar a primeira lei da termodinâmica:
Onde:
-
é a variação de energia interna, -
é o calor trocado, -
é o trabalho realizado.
Para maximizar o trabalho, queremos minimizar o calor absorvido pelo sistema.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variação da energia interna (
) para um gás diatômico ideal. A energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura e é dada por:
Onde:
-
é o número de mols, -
é a capacidade calorífica molar a volume constante, -
é a variação da temperatura.
Para um gás diatômico,
, onde
é a constante dos gases (
).
Passo 4
Calculando
:
Agora, calculamos
:
Passo 5
Segundo a primeira lei da termodinâmica:
Queremos encontrar o trabalho máximo (
), que ocorre quando o processo é reversível e
é mínimo. Nesse caso, o mínimo de
está relacionado à eficiência do processo com o reservatório de calor.
Passo 6
A eficiência (
) de um processo reversível que opera entre duas temperaturas é dada pela eficiência de Carnot:
Aqui,
e
pode ser considerada a temperatura média do processo. Mas, para simplificar, usaremos a diferença de temperatura para relacionar
com a eficiência.
Passo 7
Rearranjando a primeira lei:
Mas precisamos expressar
em termos da eficiência. Sabemos que:
Então:
Substituindo na equação anterior:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão do trabalho máximo:
Calculamos a eficiência de Carnot:
Passo 9
Substituindo
e
:
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado pelo sistema.
Resposta
O trabalho máximo que pode ser obtido é aproximadamente
.