Um mol de um gás diatômico ideal está contido em um cilindro de volume 10^-3 m^3 e temperatura 400 K , e deve ser levado para um estado final V=3 times 10^-3 m^3 e temperatura 350 K . Um reservatório de calor, de temperatura 300 K e também uma fonte reversivel de trabalho são disponiveis. Qual o trabalho máximo que pode ser obtido ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um mol de um gás diatômico ideal que está num cilindro com volume inicial de e temperatura inicial de 400 K. Esse gás vai passar para um estado final com volume de e temperatura de 350 K. Temos também um reservatório de calor a 300 K e uma fonte reversível de trabalho disponível. A pergunta é: qual é o trabalho máximo que podemos obter nesse processo?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente sobre trabalho máximo em processos reversíveis e a relação entre calor, trabalho e energia interna.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho máximo que podemos obter em um processo termodinâmico reversível está relacionado à variação da energia livre de Gibbs ( De) ou à energia disponível para trabalho ( á). No nosso caso, como temos um reservatório de calor, vamos usar a primeira lei da termodinâmica:
Onde:
  • é a variação de energia interna,
  • é o calor trocado,
  • é o trabalho realizado.
Para maximizar o trabalho, queremos minimizar o calor absorvido pelo sistema.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variação da energia interna ( De) para um gás diatômico ideal. A energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura e é dada por:
Onde:
  • é o número de mols,
  • é a capacidade calorífica molar a volume constante,
  • é a variação da temperatura.
Para um gás diatômico, , onde é a constante dos gases ( ).

Passo 4

Calculando De:
De
Agora, calculamos :

Passo 5

Segundo a primeira lei da termodinâmica:
-1039,25 , J = Q - W
Queremos encontrar o trabalho máximo ( á), que ocorre quando o processo é reversível e é mínimo. Nesse caso, o mínimo de está relacionado à eficiência do processo com o reservatório de calor.

Passo 6

A eficiência ( eta = 1 - TreservatórioTfonte ) de um processo reversível que opera entre duas temperaturas é dada pela eficiência de Carnot:
ó
Aqui, ó e pode ser considerada a temperatura média do processo. Mas, para simplificar, usaremos a diferença de temperatura para relacionar com a eficiência.

Passo 7

Rearranjando a primeira lei:
Wmáx = Q - Deá
Mas precisamos expressar eta = WmáxQ em termos da eficiência. Sabemos que:
Wmáx = eta Q á
Então:
Wmáx = eta Q = Q - Deá
Substituindo na equação anterior:
á

Passo 8

Agora, substituímos Wmáx = eta times De na expressão do trabalho máximo:
eta = 1 - 300400 = 1 - 0,75 = 0,25 á
Calculamos a eficiência de Carnot:

Passo 9

Substituindo Wmáx = 0,251 - 0,25 times (-1039,25) = 0,250,75 times (-1039,25) = 13 times (-1039,25) approx -346,42 , J e :
á
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado pelo sistema.

Resposta

O trabalho máximo que pode ser obtido é aproximadamente .

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