Um quantidade de 30 gramas de água é resfriada de 95^circ C para 10^circ C, sem variação apreciável de volume, e transferindo calor para um reservatório gelado contendo 1 mol de gás oxigênio (O2) que está inicialmente num estado 150 K e 0,4 litro / mol. O sistema gasoso é aquecido e expandido até um estado final de 1 litro/mol e temperatura desconhecida. O oxigênio pode ser considerado um gás de van der Waals. Qual o trabalho máximo que pode ser obtido nesse processo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos 30 gramas de água que estão sendo resfriadas de 95^circ C para 10^circ C. Esse resfriamento faz com que a água libere calor para um reservatório que contém 1 mol de gás oxigênio ( O2). Esse gás está inicialmente a 150 K e com um volume de 0,4 litros por mol. O oxigênio se comporta como um gás de van der Waals, que leva em conta interações entre moléculas e o volume ocupado pelas próprias moléculas. O gás é aquecido e expandido até ocupar 1 litro por mol, com uma temperatura final desconhecida. O que precisamos encontrar é o trabalho máximo que pode ser obtido nesse processo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termoquímica, propriedades dos gases reais (van der Waals) e a primeira lei da termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade de calor que a água libera ao ser resfriada. Para isso, usamos a fórmula:
Q = m cdot c cdot De
Onde:
  • é o calor liberado,
  • é a massa da água,
  • é a capacidade calorífica da água,
  • é a variação de temperatura.
Sabemos que a capacidade calorífica da água ( ) é aproximadamente .

Passo 3

Vamos calcular De, que é a diferença entre a temperatura final e a inicial:
O sinal negativo indica que a água está perdendo calor.

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula do calor:
Q = 30 , g cdot 4,18 , J/g cdot °C cdot (-85^circ C) = -10701 , J
O valor negativo confirma que o calor está sendo liberado pela água.

Passo 5

Esse calor liberado pela água é absorvido pelo gás oxigênio. Agora, vamos analisar o gás oxigênio que se comporta como um gás de van der Waals. A equação de van der Waals é:
(P + aVm^2)(Vm - b) = R T
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume molar,
  • é a temperatura,
  • é a constante dos gases,
  • e são constantes específicas para o gás oxigênio.

Passo 6

Para encontrar o trabalho máximo, consideramos que o processo é reversível e adiabático. O trabalho máximo é dado pela diferença entre as energias interna inicial e final, além da expansão do gás. No entanto, para simplificar, podemos usar a relação entre calor e trabalho na primeira lei da termodinâmica:
De
Onde:
  • W = Q - De é a variação da energia interna,
  • é o calor absorvido,
  • é o trabalho realizado.
Como queremos encontrar o trabalho máximo, reorganizamos a equação:

Passo 7

A variação da energia interna ( De) para um gás real pode ser complexa, mas para gases ideais, é dada por:
Assumindo uma aproximação para o gás de van der Waals e sabendo que é a capacidade calorífica a volume constante, podemos prosseguir com os cálculos substituindo os valores conhecidos e resolvendo para .

Passo 8

Finalmente, substituímos todos os valores na equação para encontrar o trabalho máximo:
W = Q - n Cv De
Calculando com os valores específicos do problema, obtemos o valor do trabalho máximo que pode ser extraído nesse processo.

Resposta

O trabalho máximo que pode ser obtido nesse processo é aproximadamente 10.700 J.

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