96 gramas de gás metano (CH4), inicialmente num estado de volume 3 litros e temperatura 200K são aquecidas a um estado de volume 5 litros e temperatura 300 K , por interação com um sistema rígido de temperatura inicial T^(2)=500 K capacidade térmica C^(2)(T)= D.T, onde D=5 times 10^-1 J / K^2. Qual o trabalho máximo que pode ser obtido nesse processo?
(Metano pode ser considerado com um gás ideal poliatômico, Cv=3 R )

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos 96 gramas de gás metano ( ) que estão passando por uma mudança de estado: o volume aumenta de 3 litros para 5 litros e a temperatura sobe de 200K para 300K. Esse processo acontece em interação com um sistema que tem uma temperatura inicial de 500 K e uma capacidade térmica que depende da temperatura. Queremos descobrir qual é o trabalho máximo que podemos obter nesse processo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Termodinâmica, especialmente relacionados a gases ideais e trabalho em processos termodinâmicos. Vamos também precisar usar a capacidade térmica e relacioná-la com a mudança de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa de metano para mols, já que as equações de gases ideais trabalham com mols. A massa molar do metano ( n = massamassa molar = 96 g16 g/mol = 6 mols ) é aproximadamente 16 g/mol.

Passo 3

Agora, vamos usar a equação dos gases ideais para verificar as condições iniciais e finais. A equação dos gases ideais é:
PV = nRT
Onde:
  • Pi times 3 L = 6 mols times 8,314 J/(mol·K) times 200 K é a pressão,
  • Pi = 6 times 8,314 times 2003 = 9976,83 approx 3325,6 J/L é o volume,
  • Pf times 5 L = 6 mols times 8,314 J/(mol·K) times 300 K é o número de mols,
  • Pf = 6 times 8,314 times 3005 = 14965,25 approx 2993,04 J/L é a constante dos gases ( ),
  • é a temperatura.
Vamos calcular a pressão inicial ( ) e a pressão final ( ).
Para o estado inicial:
Para o estado final:

Passo 4

Agora, vamos pensar no trabalho realizado pelo gás. O trabalho ( W = integralVi^Vf P , dV ) em um processo que envolve expansão ou compressão de um gás ideal é dado por:
Para maximizar o trabalho, queremos que esse processo seja reversível e o mais eficiente possível. Nesse caso, assumiremos um processo isotérmico, onde a temperatura permanece constante, o que permite maximizar o trabalho realizado pelo gás.

Passo 5

No processo isotérmico, a temperatura P = nRTV é constante, então a equação dos gases ideais se adapta para:
W = integralVi^Vf nRTV , dV = nRT ln(VfVi)
Substituindo na integral do trabalho:

Passo 6

Vamos calcular o trabalho usando os valores iniciais:
W = 6 mols times 8,314 J/(mol·K) times 200 K times ln(53)
Calculando o valor numérico:
W = 6 times 8,314 times 200 times ln(53) approx 6 times 8,314 times 200 times 0,5108 approx 5081,9 J

Passo 7

Entretanto, como o sistema interage com outro que tem capacidade térmica variável, precisamos considerar a transferência de calor e como isso afeta o trabalho máximo possível. A capacidade térmica do sistema rígido é dada por De, e De.
A variação de energia térmica do sistema rígido é:
Isso indica que o sistema rígido está liberando calor.

Passo 8

O trabalho máximo que pode ser obtido é dado pela diferença entre o calor absorvido pelo gás metano e o calor cedido ao sistema rígido. Como o sistema rígido está liberando calor, esse calor pode ser aproveitado para realizar trabalho.
Então:
Wmáximo = Qabsorvido - Qcedido á
Assumindo que todo o calor cedido pelo sistema rígido é aproveitado para o trabalho:
Wmáximo = | Deá

Resposta

O trabalho máximo que pode ser obtido nesse processo é de aproximadamente .

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