96 gramas de gás metano
, inicialmente num estado de volume 3 litros e temperatura 200K são aquecidas a um estado de volume 5 litros e temperatura 300 K , por interação com um sistema rígido de temperatura inicial
capacidade térmica
D.T, onde
. Qual o trabalho máximo que pode ser obtido nesse processo?
(Metano pode ser considerado com um gás ideal poliatômico,
)
(Metano pode ser considerado com um gás ideal poliatômico,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos 96 gramas de gás metano (
) que estão passando por uma mudança de estado: o volume aumenta de 3 litros para 5 litros e a temperatura sobe de 200K para 300K. Esse processo acontece em interação com um sistema que tem uma temperatura inicial de 500 K e uma capacidade térmica que depende da temperatura. Queremos descobrir qual é o trabalho máximo que podemos obter nesse processo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Termodinâmica, especialmente relacionados a gases ideais e trabalho em processos termodinâmicos. Vamos também precisar usar a capacidade térmica e relacioná-la com a mudança de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a massa de metano para mols, já que as equações de gases ideais trabalham com mols. A massa molar do metano (
) é aproximadamente 16 g/mol.
Passo 3
Agora, vamos usar a equação dos gases ideais para verificar as condições iniciais e finais. A equação dos gases ideais é:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é o número de mols, -
é a constante dos gases ( ), -
é a temperatura.
Vamos calcular a pressão inicial (
) e a pressão final (
).
Para o estado inicial:
Para o estado final:
Passo 4
Agora, vamos pensar no trabalho realizado pelo gás. O trabalho (
) em um processo que envolve expansão ou compressão de um gás ideal é dado por:
Para maximizar o trabalho, queremos que esse processo seja reversível e o mais eficiente possível. Nesse caso, assumiremos um processo isotérmico, onde a temperatura permanece constante, o que permite maximizar o trabalho realizado pelo gás.
Passo 5
No processo isotérmico, a temperatura
é constante, então a equação dos gases ideais se adapta para:
Substituindo na integral do trabalho:
Passo 6
Vamos calcular o trabalho usando os valores iniciais:
Calculando o valor numérico:
Passo 7
Entretanto, como o sistema interage com outro que tem capacidade térmica variável, precisamos considerar a transferência de calor e como isso afeta o trabalho máximo possível. A capacidade térmica do sistema rígido é dada por
, e
.
A variação de energia térmica do sistema rígido é:
Isso indica que o sistema rígido está liberando calor.
Passo 8
O trabalho máximo que pode ser obtido é dado pela diferença entre o calor absorvido pelo gás metano e o calor cedido ao sistema rígido. Como o sistema rígido está liberando calor, esse calor pode ser aproveitado para realizar trabalho.
Então:
Assumindo que todo o calor cedido pelo sistema rígido é aproveitado para o trabalho:
Resposta
O trabalho máximo que pode ser obtido nesse processo é de aproximadamente
.