Um mol de gás ideal é comprimido adiabáticamente de 1 bar a 10 bar. Sabendo que a temperatura do gás no início da compressão é de 47^{\circ} \mathrm{C} e o seu C_{V} vale 21,9 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}, responda:
Qual a variação da energia interna, da entalpia e da entropia do gás, se a compressão for quaseestática?

Passo 1

O enunciado pede a variação da energia interna, da entalpia e da entropia para 1 mol de gás ideal submetido a uma compressão adiabática quaseestática de P_1=1\\ \mathrm{bar} para P_2=10\\ \mathrm{bar}. As informações fornecidas são:
  • n=1 mol (implícito no enunciado),
  • P_1=1\\ \mathrm{bar},
  • P_2=10\\ \mathrm{bar},
  • temperatura inicial T_1=47^\circ\mathrm{C}=320{,}15\\ \mathrm{K},
  • capacidade térmica molar a volume constante C_V=21{,}9\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
O enunciado diz que a compressão é adiabática e quaseestática. “Quaseestática” aqui significa processo conduzido de modo reversível; adiabático reversível implica processo isentrópico (sem troca de calor e reversível). Vou usar isso depois para a entropia. Não começo a resolver ainda, apenas listei os dados e o que é pedido.

Passo 2

Relembrando conceitos essenciais (passo-a-passo didático):
  • Para um gás ideal mono-componente, a energia interna depende só da temperatura. Para n mols:
\Delta U = n C_V \Delta T,
onde C_V é a capacidade molar a volume constante e \Delta T = T_2-T_1.
  • A entalpia molar H de um gás ideal é função apenas da temperatura: H = n C_P T. Assim
\Delta H = n C_P \Delta T,
onde C_P é a capacidade molar a pressão constante.
  • As capacidades C_P e C_V estão relacionadas por
C_P = C_V + R,
onde R é a constante dos gases perfeitos por mol.
  • Para um processo adiabático reversível (quaseestático), vale a relação entre temperaturas e pressões:
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}},
onde \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}. Observação útil (que simplifica cálculos): \dfrac{\gamma-1}{\gamma}=\dfrac{R}{C_P}, porque \gamma-1=(C_P-C_V)/C_V=R/C_V e daí (\gamma-1)/\gamma=R/(C_V+R)=R/C_P.
Vou aplicar essas fórmulas com n=1.

Passo 3

Calcular C_P e \gamma.
Uso a constante dos gases por mol
R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Com C_V=21{,}9\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} obtemos
C_P = C_V + R = 21{,}9 + 8{,}314462618 = 30{,}214462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Agora
\gamma=\frac{C_P}{C_V}=\frac{30{,}214462618}{21{,}9}\approx 1{,}3795.
Também vou usar a forma simplificada do expoente:
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{R}{C_P}=\frac{8{,}314462618}{30{,}214462618}\approx 0{,}27521.

Passo 4

Calcular a temperatura final T_2 pela relação adiabática reversível usando pressões:
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Substituindo P_2/P_1=10 e o expoente aproximado 0{,}27521:
T_2 = T_1\cdot 10^{\,0{,}27521}.
Calculo numérico aproximado do fator:
10^{\,0{,}27521}\approx 1{,}884.
Portanto
T_2 \approx 320{,}15\\ \mathrm{K}\times 1{,}884 \approx 603{,}16\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular \Delta T:
\Delta T = T_2-T_1 \approx 603{,}16 - 320{,}15 = 283{,}01\\ \mathrm{K}.
(Arredondei levemente; vou manter mais dígitos significativos nas multiplicações seguintes.)

Passo 6

Calcular a variação da energia interna \Delta U. Usando n=1:
\Delta U = n C_V \Delta T = C_V (T_2-T_1).
Substituindo números:
\Delta U \approx 21{,}9\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} \times 283{,}01\\ \mathrm{K} \approx 6198{,}8\\ \mathrm{J}.
Interpretação física: como a temperatura aumenta na compressão adiabática, a energia interna aumenta (valor positivo).

Passo 7

Calcular a variação da entalpia \Delta H. Usando C_P:
\Delta H = n C_P \Delta T = C_P (T_2-T_1).
Substituindo:
\Delta H \approx 30{,}214462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} \times 283{,}01\\ \mathrm{K} \approx 8552{,}2\\ \mathrm{J}.
Verificação alternativa (rápida): \Delta H = \Delta U + nR\Delta T. Calculando nR\Delta T \approx 8{,}31446\times283{,}01\approx2353{,}4\\ \mathrm{J}; somando a \Delta U dá aproximadamente 6198{,}8+2353{,}4\approx8552{,}2\\ \mathrm{J}, consistente.

Passo 8

Calcular a variação da entropia \Delta S.
Para um processo adiabático e quaseestático (reversível) temos
\Delta S=\int \frac{\delta q_\text{rev}}{T}=0,
porque \delta q_\text{rev}=0 (adiabático) e o processo é reversível. Portanto a entropia do gás não muda:
\Delta S = 0\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Comentário motivador: isso significa que a compressão foi isentrópica — não houve geração líquida de entropia no sistema (idealização útil para muitas aplicações).

Resposta

\Delta U = 6198{,}8\\ \mathrm{J}
\Delta H = 8552{,}2\\ \mathrm{J}
\Delta S = 0\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}

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