Um mol de gás ideal, inicialmente a 30^circ C e 1 bar, é levado a 130^circ C e 10 bar por três processos reversíveis diferentes: Calcule Q, W, De<a U e De<a H em cada caso. Considere Cp=(7 / 2) R e Cv=(5 / 2) R. Alternativamente, considere CP=(5 / 2) R e Cv=(3 / 2) R (gás monoatômico; O que acontece com o calor e trabalho total requerido em cada processo? Por quê?
Primeiramente, o gás é aquecido a volume constante até que sua temperatura seja igual a 130^circ C, então, ele é comprimido isotermicamente até sua pressão atigir 10 bar.

Passo 1

O enunciado pede as trocas de calor ( Q), trabalho ( W), variação de energia interna ( De<a U) e variação de entalpia ( De<a H) para 1 mol de gás ideal que vai de T1=30^circ C=303,15; K, p1=1;bar a T2=130^circ C=403,15; K e p2=10;bar seguindo um caminho reversível em duas etapas:
( 1) aquecimento a volume constante até T2,
( 2) compressão isotérmica de p'=p1T2T1 até p2.
Vamos usar as propriedades de gás ideal, a primeira lei e as definições
Q=De<a U+W,
De<a U=Cv,(T2-T1),
De<a H=Cp,(T2-T1).

Passo 2

Aquecimento a volume constante (etapa 1):
– Como V= constante, o trabalho é
W1=0
– A variação de energia interna é
De<a U1=Cv,(T2-T1)
– A troca de calor neste passo é Q1=De<a U1.
– A variação de entalpia não tem significado físico direto a V constante, mas formalmente
De<a H1 = Cp,(T2-T1)

Passo 3

Compressão isotérmica a T=T2 (etapa 2):
– Em processo isotérmico de gás ideal, De<a U2=0 e De<a H2=0.
– O trabalho de compressão (feito sobre o gás) é
W2 = integralV'^V2 p,dV = -nRT2lnV2V' = -nRT2lnp'p2,
onde
p'=p1T2T1
– A troca de calor nesta etapa satisfaz Q2 = -W2.

Passo 4

Cálculo numérico para gás diatômico ( Cv=tfrac52R, Cp=tfrac72R, R=8,314;J/(mol,K)):
1. T2-T1 = 403,15 - 303,15 = 100; K 2. Aquecimento a V constante:
De<a U1 = 52Rcdot100 = 52cdot8,314cdot100 approx 2078,5; J, Q1 = 2078,5; J, De<a H1 = 72Rcdot100 approx 2909,9; J
3. Pressão inicial na isotermia:
p' = 1;bartimes403,15303,15approx1,33;bar
4. Compressão isotérmica:
W2 = -nR,T2lnp'p2 = -1cdot8,314cdot403,15ln1,3310 approx -6772; J, Q2 = -W2 approx 6772; J
5. Totais:
Qrm tot=Q1+Q2approx2078,5+6772=8849,5; J, Wrm tot=W1+W2approx -6772; J,
De<a Urm tot=2078,5; J, De<a Hrm tot=2909,9; J

Passo 5

Cálculo numérico para gás monoatômico ( Cv=tfrac32R, Cp=tfrac52R):
1. Aquecimento a V constante:
De<a U1 = 32Rcdot100 = 32cdot8,314cdot100 approx1247,1; J, Q1 =1247,1; J, De<a H1 = 52Rcdot100 approx2078,5; J
2. A etapa isotérmica não muda, logo
W2approx -6772; J, Q2approx6772; J.
3. Totais:
Qrm tot=1247,1+6772approx8019,1; J, Wrm totapprox -6772; J,
De<a Urm tot=1247,1; J, De<a Hrm tot=2078,5; J

Passo 6

Comparando os dois casos, o trabalho total ;Wrm totapprox -6772; J é o mesmo, pois ele decorre apenas do trecho isotérmico. Já o calor total Qrm tot e De<a Urm tot variam com Cv, porque a quantidade de calor necessária no aquecimento a volume constante depende de Cv.

Resposta

Para 1 mol de gás, trecho 1 (V constante) + trecho 2 (isotérmico), temos:
Gás diatômico l(Cv=tfrac52R,;Cp=tfrac72Rr):
Qrm totapprox8,85;kJ, Wrm totapprox-6,77;kJ, De<a Uapprox2,08;kJ, De<a Happrox2,91;kJ
Gás monoatômico l(Cv=tfrac32R,;Cp=tfrac52Rr):
Qrm totapprox8,02;kJ, Wrm totapprox-6,77;kJ, De<a Uapprox1,25;kJ, De<a Happrox2,08;kJ

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