1. Um mol de gás ideal monoatômico, inicialmente a 1,0 \mathrm{~atm} e 300 K , é aquecido reversivelmente até 400 K a volume constante. Calcule os valores de pressão final, \mathrm{q}, \mathrm{w}, \Delta \mathrm{U} e \Delta \mathrm{H}.

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Quantidade de gás: n=1{,}0\\ \text{mol}.
    • Gás ideal monoatômico.
    • Pressão inicial: P_i=1{,}0\\ \text{atm}.
    • Temperatura inicial: T_i=300\\ \text{K}.
    • Temperatura final: T_f=400\\ \text{K}.
    • Processo: aquecimento reversível a volume constante (ou seja, V= constante).
  • O que o problema pede:
    1. Pressão final P_f.
    2. Calor trocado q.
    3. Trabalho w.
    4. Variação da energia interna \Delta U.
    5. Variação da entalpia \Delta H.
Vou resolver passo a passo e explicar as fórmulas usadas.

Passo 2

Calcular a pressão final usando a lei dos gases ideais. Explicação e fórmula:
  • Para um gás ideal, a equação de estado é \;PV=nRT\;, onde:
    • P é a pressão,
    • V é o volume,
    • n é o número de mols,
    • R é a constante universal dos gases ( R\approx 8{,}314\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}),
    • T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • Como o volume V e n e R são constantes no processo, a relação entre pressão e temperatura é diretamente proporcional:
    \frac{P_f}{P_i}=\frac{T_f}{T_i}.
Aplicando os dados:
P_f = P_i\frac{T_f}{T_i}=1{,}0\\ \text{atm}\times\frac{400}{300}=1{,}\overline{3}\\ \text{atm}\approx1{,}33\\ \text{atm}.
Converter para pascal (opcional):
1{,}0\\ \text{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \text{Pa},
P_f\approx1{,}33\times1{,}01325\times10^{5}\\ \text{Pa}\approx1{,}35\times10^{5}\\ \text{Pa}.

Passo 3

Determinar o trabalho w realizado no processo e explicar convenções de sinal.
  • Convenção de sinais usada: q é o calor recebido pelo sistema (positivo quando o sistema recebe calor) e w é o trabalho feito SOBRE o sistema (convenção comum em termodinâmica química). Com essa convenção, para trabalho de expansão/compressão reversível temos w=-\int P_{\text{ext}}\,dV.
  • Como o processo é a volume constante, dV=0 em todo o processo, logo w=-\int_{V_i}^{V_f}P_{\text{ext}}\,dV=0.
Portanto w=0\\ \text{J}. (Intuitivamente: se o volume não muda, não há trabalho PdV.)

Passo 4

Calcular a variação da energia interna \Delta U e ensinar a fórmula usada.
  • Para um gás ideal monoatômico, a energia interna depende apenas da temperatura e a capacidade térmica molar a volume constante é
    C_V=\frac{3}{2}R.
    Explicação: monoatômico tem três graus de liberdade de translação; cada grau contribui com \tfrac{1}{2}R para C_V, portanto C_V=\tfrac{3}{2}R.
  • A variação da energia interna para n mols é
    \Delta U = n C_V \Delta T,
    onde \Delta T = T_f-T_i.
Calcule numericamente:
\Delta T = 400-300 = 100\\ \text{K}.
\Delta U = 1{,}0\times\frac{3}{2}R\times100 = 150\,R.
Usando R\approx 8{,}314\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}:
\Delta U = 150\times8{,}314\\ \text{J} = 1{,}247{,}1\\ \text{J}\approx1{,}25\times10^{3}\\ \text{J}.
Explanação curta: a energia interna aumenta porque a temperatura aumenta; para gás ideal monoatômico, cada kelvin por mol corresponde a \tfrac{3}{2}R joules.

Passo 5

Determinar o calor q.
  • A primeira lei da termodinâmica (convenção escolhida) diz \Delta U = q + w.Como w=0 (Passo 3), segue que q=\Delta U.
Portanto
q=+1{,}247{,}1\\ \text{J}\approx+1{,}25\times10^{3}\\ \text{J}.
Sinal positivo indica que o sistema absorveu calor (foi aquecido).

Passo 6

Calcular a variação de entalpia \Delta H e explicar.
  • Para um gás ideal, a entalpia molar a pressão constante é C_P=C_V+R. Para monoatômico: C_P=\frac{3}{2}R+R=\frac{5}{2}R.
  • Variação de entalpia: \Delta H = n C_P \Delta T.
Calcule:
\Delta H = 1{,}0\times\frac{5}{2}R\times100 = 250\,R.
\Delta H = 250\times8{,}314\\ \text{J} = 2{,}078{,}5\\ \text{J}\approx2{,}08\times10^{3}\\ \text{J}.
Verificação alternativa (útil na prova): \Delta H=\Delta U + nR\Delta T. Usando \Delta U=1{,}247{,}1\\ \text{J} e nR\Delta T=1\times8{,}314\times100=831{,}4\\ \text{J}, obtém-se 1{,}247{,}1+831{,}4=2{,}078{,}5\\ \text{J}, consistente.

Passo 7

Resumo numérico com arredondamentos razoáveis (3 algarismos significativos) para conferência rápida antes da resposta final.
  • P_f\approx1{,}33\\ \text{atm}\approx1{,}35\times10^{5}\\ \text{Pa}.
  • q\approx+1{,}25\times10^{3}\\ \text{J}.
  • w=0\\ \text{J}.
  • \Delta U\approx+1{,}25\times10^{3}\\ \text{J}.
  • \Delta H\approx+2{,}08\times10^{3}\\ \text{J}.
Boa notícia: com volume fixo o trabalho some e q sai direto de \Delta U — isso facilita muito na prova! Vai dar certo.

Resposta

\displaystyle P_f=1{,}33\\ \text{atm}=1{,}35\times10^{5}\\ \text{Pa}
\displaystyle q=+1{,}25\times10^{3}\\ \text{J}
\displaystyle w=0\\ \text{J}
\displaystyle \Delta U=+1{,}25\times10^{3}\\ \text{J}
\displaystyle \Delta H=+2{,}08\times10^{3}\\ \text{J}

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