Calcule
para um mol de
, de
até
a volume constante nos seguintes casos:
um gás real com
. (Pesquison)
um gás real com
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pede-se calcular a variação de energia interna
para mol de quando o gás é aquecido de até a volume constante. - Foi dada a capacidade calorífica molar a volume constante como função da temperatura:
- Informações numéricas importantes extraídas do enunciado:
- Temperatura inicial:
. - Temperatura final:
. - Quantidade de substância:
mol.
- Temperatura inicial:
- Observação (apenas listando o dado): a fórmula de
foi fornecida com vírgulas decimais e coeficientes pequenos; entendemos a variável na fórmula como temperatura em graus Celsius ( ). Isso é consistente porque uma mudança de equivale a em grandeza de incremento, então a integral de entre e tem o mesmo valor se a variável for tratada numericamente em ou em K, desde que se use os mesmos números nos limites. (Não se pede a conversão para Kelvin para a integral em si.)
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula curta).
- Definição: a capacidade calorífica molar a volume constante é por definição
Aqui é a energia interna do sistema (em J, para 1 mol), é a temperatura (em ou K) e o subíndice indica que a derivada é tomada a volume constante. - Consequência imediata: para um processo a volume constante a variação de energia interna entre
e é a integral da capacidade calorífica: Esta fórmula é direta do significado de : somamos os pequenos aumentos ao aquecer o gás. - Observação prática: as unidades batem porque
está em e em K (ou ), então a integral dá Joules por mol. Para mols, multiplicaria por ; aqui , portanto usamos a integral diretamente.
Passo 3
Montando a integral com o
dado.
- Vamos usar a expressão dada para
. Escrevendo-a de forma explícita: onde, numericamente, e . - A integral fica então
com e (valores em , que servem diretamente para a integral).
Passo 4
Integração simbólica (passo a passo das contas).
- Integramos termo a termo. A primitiva de cada termo é:
- Logo a antiderivada é
- Pela regra da integral definida:
Passo 5
Avaliação numérica detalhada (cada termo calculado claramente).
- Primeiro, anotar os limites:
- Termo 1 (constante):
- Termo 2 (quadrático):
Observação técnica: foi usada a identidade , mas como os números são simples aqui calculei diretamente . - Termo 3 (cúbico):
(Detalhe do cálculo: , , diferença . A fração foi aproximada por ; o produto dá cerca de .) - Somando os três termos:
Arredondando com precisão compatível com os dados: para 1 mol.
Passo 6
Interpretação curta e encorajamento.
- Resultado físico:
positivo significa que a energia interna aumentou ao aquecer o gás a volume constante — totalmente esperado. - Dica prática para prova: sempre identifique que
. Em processos a constante basta integrar . Se o enunciado desse em vez de , não se poderia usar diretamente; haveria que relacionar as capacidades ou usar a primeira lei com trabalho nulo ( a volume constante) e lembrar como e se relacionam. - Você conseguiu! Vai ficar tranquilo: montar a integral e integrar termo a termo é a técnica que cai sempre que der
polinomial.