Calcule Delta \mathrm{U} para um mol de \mathrm{O}_{2}, de 20^{\circ} \mathrm{C} até 50^{\circ} \mathrm{C} a volume constante nos seguintes casos:
um gás real com \mathrm{CV}_{\mathrm{V}}=\left(8,96-2,54 \times 10^{-2} \mathrm{~T}-7,49 \times 10^{-4} \mathrm{~T}^{2}\right) \mathrm{JK}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}. (Pesquison)

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede-se calcular a variação de energia interna \Delta U para 1 mol de \mathrm{O}_2 quando o gás é aquecido de 20^\circ\mathrm{C} até 50^\circ\mathrm{C} a volume constante.
  • Foi dada a capacidade calorífica molar a volume constante como função da temperatura: C_{V}(T)=\left(8,96-2,54\times10^{-2}\,T-7,49\times10^{-4}\,T^{2}\right)\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • Informações numéricas importantes extraídas do enunciado:
    • Temperatura inicial: T_1=20^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura final: T_2=50^\circ\mathrm{C}.
    • Quantidade de substância: n=1 mol.
  • Observação (apenas listando o dado): a fórmula de C_V foi fornecida com vírgulas decimais e coeficientes pequenos; entendemos a variável T na fórmula como temperatura em graus Celsius ( ^\circ\mathrm{C}). Isso é consistente porque uma mudança de 1^\circ\mathrm{C} equivale a 1\\ \mathrm{K} em grandeza de incremento, então a integral de C_V(T) entre 20^\circ\mathrm{C} e 50^\circ\mathrm{C} tem o mesmo valor se a variável for tratada numericamente em ^\circ\mathrm{C} ou em K, desde que se use os mesmos números nos limites. (Não se pede a conversão para Kelvin para a integral em si.)

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula curta).
  • Definição: a capacidade calorífica molar a volume constante é por definição C_V(T)=\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V.Aqui U é a energia interna do sistema (em J, para 1 mol), T é a temperatura (em ^\circ\mathrm{C} ou K) e o subíndice V indica que a derivada é tomada a volume constante.
  • Consequência imediata: para um processo a volume constante a variação de energia interna entre T_1 e T_2 é a integral da capacidade calorífica: \Delta U=\int_{T_1}^{T_2} C_V(T)\,dT.Esta fórmula é direta do significado de C_V: somamos os pequenos aumentos dU=C_V(T)\,dT ao aquecer o gás.
  • Observação prática: as unidades batem porque C_V está em \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}} e dT em K (ou ^\circ\mathrm{C}), então a integral dá Joules por mol. Para n mols, multiplicaria por n; aqui n=1, portanto usamos a integral diretamente.

Passo 3

Montando a integral com o C_V(T) dado.
  • Vamos usar a expressão dada para C_V(T). Escrevendo-a de forma explícita: C_V(T)=8,96 - 0,0254\,T - 0,000749\,T^2 \quad\text{(em }\mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}\text{)},onde, numericamente, 0,0254=2,54\times10^{-2} e 0,000749=7,49\times10^{-4}.
  • A integral fica então \Delta U=\int_{T_1}^{T_2}\left(8,96 - 0,0254\,T - 0,000749\,T^2\right)\,dT,com T_1=20 e T_2=50 (valores em ^\circ\mathrm{C}, que servem diretamente para a integral).

Passo 4

Integração simbólica (passo a passo das contas).
  • Integramos termo a termo. A primitiva de cada termo é: \int 8,96\,dT = 8,96\,T,
\int (-0,0254\,T)\,dT = -0,0254\cdot\frac{T^{2}}{2} = -0,0127\,T^{2},
\int (-0,000749\,T^{2})\,dT = -0,000749\cdot\frac{T^{3}}{3} = -\frac{0,000749}{3}\,T^{3}.
  • Logo a antiderivada é F(T)=8,96\,T - 0,0127\,T^{2} - \frac{0,000749}{3}\,T^{3}.
  • Pela regra da integral definida: \Delta U = F(T_2)-F(T_1).

Passo 5

Avaliação numérica detalhada (cada termo calculado claramente).
  • Primeiro, anotar os limites: T_1=20,\qquad T_2=50,\qquad \Delta T=T_2-T_1=30.
  • Termo 1 (constante): 8,96\,(T_2-T_1)=8,96\cdot30=268,8\\ \mathrm{J}.
  • Termo 2 (quadrático): -0,0127\left(T_2^{2}-T_1^{2}\right)=-0,0127\left(50^{2}-20^{2}\right)=-0,0127(2500-400)=-0,0127\cdot2100=-26,67\\ \mathrm{J}.Observação técnica: foi usada a identidade T_2^2-T_1^2=(T_2-T_1)(T_2+T_1), mas como os números são simples aqui calculei diretamente 2500-400.
  • Termo 3 (cúbico): -\frac{0,000749}{3}\left(T_2^{3}-T_1^{3}\right)=-0,000249666\ldots\,(125000-8000)=-0,000249666\ldots\cdot117000\approx-29,21\\ \mathrm{J}.(Detalhe do cálculo: 50^{3}=125000, 20^{3}=8000, diferença 117000. A fração 0,000749/3 foi aproximada por 0,000249666\ldots; o produto dá cerca de 29,21\\ \mathrm{J}.)
  • Somando os três termos: \Delta U = 268,8 - 26,67 - 29,21 = 212,92\\ \mathrm{J}.Arredondando com precisão compatível com os dados: \Delta U \approx 212,9\\ \mathrm{J} para 1 mol.

Passo 6

Interpretação curta e encorajamento.
  • Resultado físico: \Delta U positivo significa que a energia interna aumentou ao aquecer o gás a volume constante — totalmente esperado.
  • Dica prática para prova: sempre identifique que C_V=(\partial U/\partial T)_V. Em processos a V constante basta integrar C_V(T). Se o enunciado desse C_p(T) em vez de C_V, não se poderia usar diretamente; haveria que relacionar as capacidades ou usar a primeira lei com trabalho nulo ( W=0 a volume constante) e lembrar como C_V e C_p se relacionam.
  • Você conseguiu! Vai ficar tranquilo: montar a integral e integrar termo a termo é a técnica que cai sempre que der C_V(T) polinomial.

Resposta

\Delta U \approx 212,9\\ \mathrm{J}

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