Um mol de um gás está submetido à pressão de 40 bar, a 25^{\circ} \mathrm{C}. Determinar o volume ocupado pelo gás, utilizando a equação dos gases perfeitos e a equação de van der Waals, nos seguintes casos:
O gás é o amoníaco ( a=0,421 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~m}^{3} /(\mathrm{mol})^{2} e b=3, .10^{-5} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{mol} )

Passo 1

Temos n=1 mol de amoníaco submetido à pressão P=40 bar e temperatura T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15 K. Os parâmetros de van der Waals são
a = 0{,}421\\ \mathrm{J\cdot m^3/mol^2}, \quad b = 3{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol}.
Vamos calcular o volume ocupado primeiro pela equação dos gases perfeitos e depois pela equação de van der Waals.

Passo 2

Pela equação dos gases perfeitos,
V_{\rm ideal} = \frac{n\,R\,T}{P}.
Convertendo P=40 bar para pascal,
P = 40\times10^5\\ \mathrm{Pa} = 4{,}0\times10^6\\ \mathrm{Pa},
e usando R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
V_{\rm ideal} = \frac{1 \times 8{,}314 \times 298{,}15}{4{,}0\times10^6} \approx 6{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3} = 0{,}620\\ \mathrm L.

Passo 3

A equação de van der Waals para um mol n=1 é
\bigl(P + \tfrac{a}{V^2}\bigr)\,(V - b) = R\,T.
Substituindo P=4{,}0\times10^6 Pa, a, b e RT=8{,}314\times298{,}15\approx2478{,}6, obtemos a equação implícita
f(V)=\Bigl(4{,}0\times10^6 + \frac{0{,}421}{V^2}\Bigr)(V - 3{,}0\times10^{-5}) \;-\;2478{,}6 = 0.

Passo 4

Para resolver f(V)=0 usamos o método de Newton–Raphson. Definindo
f(V)=\Bigl(P+\tfrac{a}{V^2}\Bigr)(V-b)-RT, \quad f'(V)=-2\,\frac{a\,(V-b)}{V^3} + \Bigl(P+\tfrac{a}{V^2}\Bigr),
tomamos como palpite inicial V_0=V_{\rm ideal}=6{,}20\times10^{-4} m^{3} e iteramos até convergência. Após algumas iterações chega-se a
V_{\rm vdW}\approx4{,}13\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3} =0{,}413\\ \mathrm L.

Resposta

Volume pelo gás perfeito: V_{\rm ideal}\approx6{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3} (0,620 L)
Volume pela van der Waals: V_{\rm vdW}\approx4{,}13\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3} (0,413 L)

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