Vinte gramas de vapor a 120^{\circ} \mathrm{C} e 300 g de água líquida a 25^{\circ} \mathrm{C} são colocados juntos dentro de um frasco isolado. A pressão é mantida em 1atm.
Se \mathrm{Cp}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}, \mathrm{I}\right)=4,18 \mathrm{~J} / \mathrm{K} . \mathrm{g}, \mathrm{Cp}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}, \mathrm{g}\right)=1,86 \mathrm{~J} / \mathrm{K} . \mathrm{g} e \Delta_{\text {vap }} \mathrm{H}=2257 \mathrm{~J} / \mathrm{g}, \mathrm{a} 100^{\circ} \mathrm{C}.
a) Qual a temperatura final do sistema supondo completa condensação do vapor?
b) Qual é a pressão de vapor d’água no equilibrio térmico?
c) Após atingir o equilíbrio térmico é feita uma pressāo de 5 atm sobre o sistema. De quanto a pressão de vapor aumenta nesta nova condição?
d) Calcule \Delta S para: o sistema, a vizinhança e total.

Passo 1

O enunciado mistura m_g=20\,\mathrm g de vapor de água a 120{}^\circ\mathrm C com m_\ell=300\,\mathrm g de água líquida a 25{}^\circ\mathrm C num frasco isolado à pressão mantida em 1 atm. Para resolver precisamos de balanço de energia (primeira lei) supondo condensação completa do vapor, depois relacionar pressão de vapor ao pé de temperatura (Clausius–Clapeyron), e finalmente calcular entropias usando \Delta S=\int \mathrm d Q_\mathrm{rev}/T.

Passo 2

Supondo o vapor todo condensar a 100{}^\circ\mathrm C, o calor liberado e absorvido satisfaz
m_g\,C_{p,g}\,(120-100) + m_g\,\Delta_\mathrm{vap}H + m_g\,C_{p,\ell}\,(100-T_f) = m_\ell\,C_{p,\ell}\,(T_f-25).
Substituindo C_{p,g}=1{,}86\,\mathrm{J/K\cdot g}, C_{p,\ell}=4{,}18\,\mathrm{J/K\cdot g}, \Delta_\mathrm{vap}H=2257\,\mathrm{J/g} e massas, vem
20\cdot1{,}86\cdot20 + 20\cdot2257 + 20\cdot4{,}18(100-T_f) =300\cdot4{,}18(T_f-25).
Resolvendo dá
T_f \approx 64{,}1{}^\circ\mathrm C.

Passo 3

No equilíbrio térmico a pressão parcial de vapor de água é a pressão de saturação a T_f. Usando a equação de Clausius–Clapeyron aproximada
\ln\frac{p_{\mathrm{sat}}(T_f)}{p_0} = -\frac{\Delta H_\mathrm{vap,mol}}{R}\Bigl(\frac1{T_f+273{,}15}-\frac1{373{,}15}\Bigr),
com \Delta H_\mathrm{vap,mol}=2257\cdot18\approx4{,}06\times10^4\,\mathrm{J/mol}, R=8{,}314\,\mathrm{J/(mol\,K)}, p_0=1\,\mathrm{atm}, T_f+273{,}15=337{,}2\,\mathrm K, obtém-se
p_{\mathrm{sat}}(64{,}1{}^\circ\mathrm C)\approx0{,}25\;\mathrm{atm}.

Passo 4

A pressão de vapor de uma substância pura em equilíbrio depende quase só da temperatura; aumentar a pressão total (por gás inerte ou compressão) não muda significativamente p_{\mathrm{sat}}(T). Logo, mesmo a 5 atm de pressão total, a pressão parcial de vapor fica
p_{\mathrm{vapor}}=p_{\mathrm{sat}}(64{,}1{}^\circ\mathrm C)\approx0{,}25\;\mathrm{atm}.

Passo 5

Calcular \Delta S_\mathrm{sys} somando as etapas reversíveis:
  1. Resfriamento do vapor de 120 a 100 °C:
\Delta S_1 = m_g\,C_{p,g}\ln\frac{373{,}15}{393{,}15} =20\cdot1{,}86\ln\frac{373{,}15}{393{,}15} \approx -1{,}94\,\mathrm{J/K}.
  1. Condensação a 100 °C:
\Delta S_2 = -\frac{m_g\,\Delta_\mathrm{vap}H}{373{,}15} =-\frac{20\cdot2257}{373{,}15} \approx -121{,}0\,\mathrm{J/K}.
  1. Resfriamento do líquido condensado de 100 a T_f:
\Delta S_3 = m_g\,C_{p,\ell}\ln\frac{337{,}2}{373{,}15} =20\cdot4{,}18\ln\frac{337{,}2}{373{,}15} \approx -8{,}5\,\mathrm{J/K}.
  1. Aquecimento da água inicial de 25 a T_f:
\Delta S_4 = m_\ell\,C_{p,\ell}\ln\frac{337{,}2}{298{,}15} =300\cdot4{,}18\ln\frac{337{,}2}{298{,}15} \approx +154{,}2\,\mathrm{J/K}.
Somando
\Delta S_\mathrm{sys} \approx -1{,}94 -121{,}0 -8{,}5 +154{,}2 \approx +22{,}7\,\mathrm{J/K}.
Como o frasco é isolado, não há troca de calor com o meio, então \Delta S_\mathrm{vizinhança}=0ç e \Delta S_\mathrm{total}=\Delta S_\mathrm{sys}+\Delta S_\mathrm{vizinhança}\approx+22{,}7\,\mathrm{J/K}.ç

Resposta

a) T_f\approx64{,}1{}^\circ\mathrm C
b) p_{\mathrm{vapor}}=p_{\mathrm{sat}}(64{,}1{}^\circ\mathrm C)\approx0{,}25\;\mathrm{atm}
c) Permanece p_{\mathrm{sat}}\approx0{,}25\;\mathrm{atm} (independente da pressão total até níveis muito altos)
d) \Delta S_\mathrm{sys}\approx+22{,}7\,\mathrm{J/K},\;\Delta S_\mathrm{vizinhança}=0,\;\Delta S_\mathrm{total}\approx+22{,}7\,\mathrm{J/K}.ç

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