Um mol de um gás está submetido à pressão de 40 bar, a 25^{\circ} \mathrm{C}. Determinar o volume ocupado pelo gás, utilizando a equação dos gases perfeitos e a equação de van der Waals, nos seguintes casos:
O gás é o amoníaco \left(a=0,421 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~m}^{3} /(\mathrm{mol})^{2}\right. e \left.b=3, \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{mol}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o volume ocupado por 1 mol de amoníaco nas condições:
  • Pressão: P=40\\ \text{bar}.
  • Temperatura: T=25^\circ\mathrm{C}.
Os dados fornecidos para o amoníaco são:
  • a=0,421\\ \mathrm{J\cdot m^{3}/mol^{2}}.
  • b=3{,}0\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
Informações úteis (convertendo para o SI):
  • 1\\ \text{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}, logo P=40\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}=4{,}0\cdot10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • O enunciado pede dois volumes: o volume calculado pela equação dos gases perfeitos e o volume calculado pela equação de van der Waals.

Passo 2

Calcular o volume pela equação dos gases perfeitos.
Fórmula (uma explicação curta): a equação dos gases perfeitos relaciona pressão, volume, temperatura e quantidade de substância pela fórmula
V=\dfrac{nRT}{P},
onde
  • V é o volume (em \mathrm{m^{3}}),
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases,
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}),
  • P é a pressão (em \mathrm{Pa}).
Substituindo n=1, R=8{,}314, T=298{,}15 e P=4{,}0\cdot10^{6}:
V_{\text{ideal}}=\dfrac{1\cdot 8{,}314\cdot 298{,}15}{4{,}0\cdot10^{6}}.
Calcule passo a passo o numerador:
8{,}314\cdot 298{,}15 = 2478{,}957\\ \text{(aprox.)}.
Agora dividir:
V_{\text{ideal}}=\dfrac{2478{,}957}{4{,}0\cdot10^{6}}=0{,}00061974\\ \mathrm{m^{3}}.
Conversões úteis:
V_{\text{ideal}}=0{,}00061974\\ \mathrm{m^{3}}=0{,}61974\\ \mathrm{L}\approx 619{,}7\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 3

Apresentar a equação de van der Waals e explicar variáveis.
A equação de van der Waals para n mols é
\left(P+\dfrac{a n^{2}}{V^{2}}\right)(V-nb)=nRT.
Para n=1 mol simplifica para
\left(P+\dfrac{a}{V^{2}}\right)(V-b)=RT.
Interpretação dos parâmetros:
  • a corrige a pressão efetiva por atrações intermoleculares (unidade em SI compatível: \mathrm{J\cdot m^{3}/mol^{2}} = \mathrm{Pa\cdot m^{6}/mol^{2}}).
  • b corrige o volume livre disponível, representando volume ocupado pelas moléculas (unidade \mathrm{m^{3}/mol}).
Observação: essa equação é cúbica em V e geralmente exige método numérico para resolver. Vou usar um método iterativo simples e fácil de fazer à mão: isolar V de forma a obter uma iteração de ponto fixo. Reescreve-se a equação como
V = b + \dfrac{RT}{P + \dfrac{a}{V^{2}}}.
Essa expressão permite iterar V_{k+1}=b+\dfrac{RT}{P + a/V_{k}^{2}}. Começamos com V_{0}=V_{\text{ideal}} (boa aproximação inicial).

Passo 4

Preparar os valores numéricos constantes usados nas iterações:
RT = 8{,}314\cdot 298{,}15 = 2478{,}957\\ (\text{J}= \mathrm{Pa\cdot m^{3}}).
P=4{,}0\cdot10^{6}\\ \mathrm{Pa},\qquad a=0{,}421,\qquad b=3{,}0\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Fazer as iterações ( V_{k+1}=b+\dfrac{RT}{P + a/V_{k}^{2}}). Mostro várias iterações até convergência (cada linha mostra a/V_{k}^{2}, P+a/V_{k}^{2}, \dfrac{RT}{P+a/V_{k}^{2}} e V_{k+1}).
  • Iteração inicial:
    V_{0}=V_{\text{ideal}}=0{,}00061974\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Iteração 1:
    \dfrac{a}{V_{0}^{2}}=\dfrac{0{,}421}{(0{,}00061974)^{2}}=1{,}095996\cdot10^{6}\\ \mathrm{Pa},
P+\dfrac{a}{V_{0}^{2}}=5{,}095996\cdot10^{6}\\ \mathrm{Pa},
\dfrac{RT}{P+\dfrac{a}{V_{0}^{2}}}=\dfrac{2478{,}957}{5{,}095996\cdot10^{6}}=0{,}00048672\\ \mathrm{m^{3}},
V_{1}=b+0{,}00048672=0{,}00051672\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Iteração 2: \dfrac{a}{V_{1}^{2}}=1{,}576957\cdot10^{6}\\ \mathrm{Pa},
P+\dfrac{a}{V_{1}^{2}}=5{,}576957\cdot10^{6}\\ \mathrm{Pa},
\dfrac{RT}{\cdots}=0{,}00044453\\ \mathrm{m^{3}},
V_{2}=0{,}00047453\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Iteração 3: \dfrac{a}{V_{2}^{2}}=1{,}869989\cdot10^{6}\\ \mathrm{Pa},
P+\dfrac{a}{V_{2}^{2}}=5{,}869989\cdot10^{6}\\ \mathrm{Pa},
\dfrac{RT}{\cdots}=0{,}00042245\\ \mathrm{m^{3}},
V_{3}=0{,}00045245\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Iteração 4: \dfrac{a}{V_{3}^{2}}=2{,}057001\cdot10^{6}\\ \mathrm{Pa},
P+\dfrac{a}{V_{3}^{2}}=6{,}057001\cdot10^{6}\\ \mathrm{Pa},
\dfrac{RT}{\cdots}=0{,}00040944\\ \mathrm{m^{3}},
V_{4}=0{,}00043944\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Iteração 5: \dfrac{a}{V_{4}^{2}}=2{,}181007\cdot10^{6}\\ \mathrm{Pa},
P+\dfrac{a}{V_{4}^{2}}=6{,}181007\cdot10^{6}\\ \mathrm{Pa},
\dfrac{RT}{\cdots}=0{,}00040087\\ \mathrm{m^{3}},
V_{5}=0{,}00043087\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Iteração 6:
    V_{6}=0{,}00042545\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Iteração 7:
    V_{7}=0{,}00042186\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Iteração 8:
    V_{8}=0{,}00041952\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Iteração 9:
    V_{9}=0{,}00041797\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Iteração 10:
    V_{10}=0{,}00041676\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Iteração 11:
    V_{11}=0{,}00041586\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Iteração 12:
    V_{12}=0{,}00041517\\ \mathrm{m^{3}}.
A variação entre iterações já é pequena (ordem 10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}}), indicando convergência. Tomamos como valor convergido
V_{\text{vdW}}\approx 0{,}000415\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 6

Interpretação rápida e comparação (encorajamento):
  • O volume previsto por van der Waals é menor que o previsto pelo gás ideal nas condições dadas. Isso acontece porque as forças de atração (termo a) reduzem a pressão efetiva, o que, neste modo de contar no rearranjo, leva a um volume menor quando se resolve corretamente a equação; além disso, o parâmetro b diminui o volume livre. Não se assuste com a natureza iterativa — em prova pode-se fazer 8–12 iterações ou usar método de Newton se preferir, mas a ideia é sempre a mesma: resolver numericamente a cúbica.

Resposta

V_{\text{ideal}}=0{,}00061974\\ \mathrm{m^{3}} \quad(=0{,}61974\\ \mathrm{L})
V_{\text{van\\ der\\ Waals}}\approx 0{,}000415\\ \mathrm{m^{3}} \quad(=0{,}415\\ \mathrm{L})

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