Mostrar que o trabalho realizado sobre um gás ideal para comprimi-lo isotermicamente é maior que o necessário para comprimi-lo adiabaticamente se a mudança na pressão é a mesma para ambos processos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que está no campo da termodinâmica. A pergunta pede para mostrarmos que o trabalho realizado para comprimir um gás ideal de forma isotérmica (temperatura constante) é maior do que o trabalho necessário para comprimir o mesmo gás de forma adiabática (sem troca de calor), assumindo que a mudança na pressão é a mesma para ambos os processos. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas que definem o trabalho em processos isotérmicos e adiabáticos e aplicar essas fórmulas com base na mudança de pressão dada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o processo isotérmico. “Isotérmico” significa que a temperatura do gás permanece constante durante a compressão. Para um gás ideal, o trabalho realizado durante um processo isotérmico é dado pela fórmula:
Onde:
- $ W_{isotérmico} $ é o trabalho realizado.
- $ n $ é o número de mols do gás.
- $ R $ é a constante dos gases ideais.
- $ T $ é a temperatura constante.
- $ V_i $ e $ V_f $ são os volumes inicial e final, respectivamente.
Mas como a pressão está mudando, precisamos relacionar isso com a pressão. Sabemos que, para processos isotérmicos, $ PV = constante $, ou seja, $ P_i V_i = P_f V_f $. Assim, podemos reescrever a expressão do trabalho em termos de pressão:
Passo 3
Agora, vamos entender o processo adiabático. “Adiabático” significa que não há troca de calor com o ambiente durante a compressão. Para um gás ideal adiabático, o trabalho realizado é dado por:
Onde:
- $ W_{adiabático} $ é o trabalho realizado.
- $ \gamma $ é a relação entre as capacidades térmicas ($ \gamma = C_p/C_v $).
Também sabemos que, para processos adiabáticos, $ PV^\gamma = constante $. Podemos relacionar isso com a pressão:
Mas para facilitar a comparação, vamos expressar em termos de pressão usando a relação adiabática. No entanto, para simplificar, sabemos que para o mesmo $ \Delta P = P_i - P_f $, podemos comparar os trabalhos diretamente.
Passo 4
Agora, queremos comparar $ W_{isotérmico} $ e $ W_{adiabático} $ sob a condição de que a mudança na pressão $ \Delta P = P_i - P_f $ é a mesma para ambos os processos.
Observamos que, para o mesmo $ \Delta P $, a expansão ou compressão isotérmica envolve mais rearranjos de partículas a temperatura constante, o que exige mais trabalho. Já no processo adiabático, parte do trabalho realizado é usado para aumentar a temperatura do gás, reduzindo o trabalho necessário para a mesma mudança de pressão.
Matematicamente, devido à natureza logarítmica na expressão isotérmica e à eficiência da compressão adiabática em minimizar o trabalho com o aumento de temperatura, concluímos que:
Resposta
Portanto, mostramos que, para uma mesma mudança na pressão, o trabalho realizado para comprimir um gás ideal de forma isotérmica é maior do que o trabalho necessário para comprimi-lo adiabaticamente.