Prove que se \psi(x) é uma solução para a equação de Schrödinger, então, qualquer constante multilicada por \psi(x) também será solução.

Passo 1

Neste exercício queremos mostrar que, devido à linearidade da equação de Schrödinger, se \psi(x,t) é uma solução então \Psi(x,t)=C\,\psi(x,t), com C constante complexa, também é solução. O conteúdo envolvido é a propriedade de linearidade de operadores diferenciais, aplicada à equação de Schrödinger (tanto dependente do tempo quanto independente do tempo).

Passo 2

Escrevemos a forma dependente do tempo da equação de Schrödinger
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\,\psi(x,t)=\hat H\,\psi(x,t).
Como \psi é solução, vale
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\,\psi.

Passo 3

Definimos \Psi(x,t)=C\,\psi(x,t). Avaliamos o lado esquerdo da equação:
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\,\Psi =i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\bigl(C\,\psi\bigr) =C\,i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}.
Como C é constante, sai fora da derivada temporal.

Passo 4

Agora o lado direito com o Hamiltoniano linear \hat H:
\hat H\,\Psi=\hat H\bigl(C\,\psi\bigr) =C\,\hat H\,\psi.
Pelo passo anterior e pelo fato de \psi satisfazer a equação, temos
i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} =C\,i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} =C\,\hat H\,\psi =\hat H\,\Psi,
logo \Psi satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.

Passo 5

Para a forma independente do tempo
\hat H\,\psi(x)=E\,\psi(x),
basta notar que
\hat H\bigl(C\,\psi\bigr) =C\,\hat H\,\psi =C\,E\,\psi =E\,(C\,\psi),
o que mostra que C\,\psi também é autofunção de \hat H com o mesmo autovalor E.

Resposta

Como a equação de Schrödinger é linear, multiplicar uma solução \psi por qualquer constante C produz outra solução C\,\psi.

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