Prove que se
é uma solução para a equação de Schrödinger, então, qualquer constante multilicada por
também será solução.
Passo 1
Neste exercício queremos mostrar que, devido à linearidade da equação de Schrödinger, se
é uma solução então
, com
constante complexa, também é solução. O conteúdo envolvido é a propriedade de linearidade de operadores diferenciais, aplicada à equação de Schrödinger (tanto dependente do tempo quanto independente do tempo).
Passo 2
Escrevemos a forma dependente do tempo da equação de Schrödinger
Como
é solução, vale
Passo 3
Definimos
. Avaliamos o lado esquerdo da equação:
Como
é constante, sai fora da derivada temporal.
Passo 4
Agora o lado direito com o Hamiltoniano linear
:
Pelo passo anterior e pelo fato de
satisfazer a equação, temos
logo
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Passo 5
Para a forma independente do tempo
basta notar que
o que mostra que
também é autofunção de
com o mesmo autovalor
.
Resposta
Como a equação de Schrödinger é linear, multiplicar uma solução
por qualquer constante
produz outra solução
.